LQR控制器

最优控制理论主要探讨的是让动力系统以在最小成本来运作，若系统动态可以用一组线性微分方程表示，而其成本为二次泛函，这类的问题称为线性二次（LQ）问题。此类问题的解即为线性二次调节器（英语：linear–quadratic regulator），简称LQR。

LQR是回授控制器，方程式在后面会提到。LQR是LQG（线性二次高斯）问题解当中重要的一部分。而LQG问题和LQR问题都是控制理论中最基础的问题之一。

控制机器（例如飞机）的控制器，或是控制制程（例如化学反应）的控制器，可以进行最佳控制，方式是先设定成本函数，再由工程师设定加权，利用数学算法来找到使成本函数最小化的设定值。成本函数一般会定义为主要量测量（例如飞行高度或是制程温度）和理想值的偏差的和。算法会设法调整参数，让这些不希望出现的偏差降到最小。而控制量的大小本身也会包括在成本函数中。

LQR算法减少了工程师为了让控制器最佳化，而需付出的心力。不过工程师仍然要列出成本函数的相关参数，并且将结果和理想的设计目标比较。因此控制器的建构常会是迭代的，工程师在模拟过程中决定最佳控制器，再去调整参数让结果更接近设计目标。

在本质上，LQR算法是找寻合适状态回授控制器的自动化方式。因此也常会有控制工程师用其他替代方式，例如全状态回授（也称为极点安置）的作法，此作法对控制器参数和控制器性能之间的关系比较明确。而LQR算法的困难之处在找合适的加权因子，这也限制了以LQR控制器合成的相关应用。

方程式如下的连续时间线性系统，${\displaystyle t\in <!--\; \in \; -->}$：

其二次成本泛函为

其中F、Q和R都是正定矩阵。

可以让成本最小化的回授控制律为

其中${\displaystyle K}$为

而${\displaystyle P}$是连续时间Riccati方程的解：

边界条件如下

J_min的一阶条件如下

(i) 状态方程

(ii) 协态方程

(iii) 静止方程

(iv) 边界条件

且${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(t_1)=F(t_1)x(t_1)}$

考虑以下的连续时间线性系统

其成本泛函为

可以让成本最小化的回授控制律为

其中${\displaystyle K}$定义为

而${\displaystyle P}$是代数Riccati方程的解

也可以写成下式

其中

考虑离散时间的线性系统，定义如下

其性能指标为

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

其中

而${\displaystyle P_k}$是由动态Riccati方程倒退时间佚代计算而得

从终端条件${\displaystyle P_N=Q}$开始计算。注意${\displaystyle u_N}$没有定义，因为 ${\displaystyle x}$ 是由${\displaystyle A{x}_{N-<!--\; -\; -->1}+B{u}_{N-<!--\; -\; -->1}}$推导到其最终状态 ${\displaystyle x_N}$。

考虑离散时间的线性系统，定义如下

其性能指标为

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

其中

而${\displaystyle P}$是离散代数Riccati方程（DARE）的唯一正定解。

可以写成

其中

而求解代数Riccati方程的一个方式是迭代计算有限时间的动态Riccati方程，直到所得的解收敛为止。