H square

✍ dations ◷ 2025-04-02 21:22:41 #数学分析小作品,控制理论,数学分析

2或H-square是数学及控制理论的用语，是指有平方范数的哈代空间，是2空间的子集合，因此也是希尔伯特空间。特别的是，2空间也是再生核希尔伯特空间（英语：Reproducing kernel Hilbert space）。

一般而言，单位圆盘内2空间的元素可以表示为

而2空间的元素可以表示为

从2空间到2空间的映射（令 < 0时的 = 0）是orthogonal映射。

拉氏转换 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$

可以理解为以下的线性算子

其中 $L^{2}(0,\infty )$ $L^{2}(0,\infty )$ 为正实数线上平方可积函数的集合，且 $\mathbb {C} ^{+}$ $\mathbb {C} ^{+}$ 为复平面的右半平面，而且拉氏转换也是同构（因为其可逆），而且等距同构，因为满足下式

拉氏转换是「半个」傅立叶转换，因为以下的分解

可以得到 $L^{2}(\mathbb {R} )$ $L^{2}({\mathbb {R}})$ 正交分解成两个哈代空间

在本质上就是培力-威纳定理（英语：Paley-Wiener theorem）。

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