标准差

标准差（又称标准偏差、均方差，英语：Standard Deviation，缩写SD），数学符号σ（sigma），在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。标准差定义：为方差开算术平方根，反映组内个体间的离散程度；标准差与期望值之比为标准离差率。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。其公式如下所列。标准差的概念由卡尔·皮尔逊引入到统计中。简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。表述“相差k个标准差”，即在 X̄ ± kS 的样本（Sample）范围内考量。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。μ {displaystyle mu } 为平均值（ x ¯ {displaystyle {overline {x}}} ）。简易口诀：离均差平方的平均取正平方根；方均根。上述公式可以如下代换而简化：所以：根号里面，亦即方差（ σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} ）的简易口诀为：“平方和的平均”减去“平均的平方”。一随机变量 X {displaystyle X} 的标准差定义为：须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量 X {displaystyle X} 为 x 1 , ⋯ , x n {displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}} 具有相同概率，则可用上述公式计算标准差。若 X {displaystyle X} 是由实数 x 1 , x 2 , . . . , x n {displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} 构成的离散随机变量（英语：discrete random variable），且每个值的概率相等，则 X {displaystyle X} 的标准差定义为：换成用 ∑ {displaystyle sum } 来写，就成为：目前为止，与总体标准差的基本公式一致。然而若每个 x i {displaystyle x_{i}} 可以有不同概率 p i {displaystyle p_{i}} ，则 X {displaystyle X} 的标准差定义为：这里， μ {displaystyle mu } 为 X {displaystyle X} 的数学期望。若 X {displaystyle X} 为概率密度 p ( X ) {displaystyle p(X)} 的连续随机变量（英语：continuous random variable），则 X {displaystyle X} 的标准差定义为：其中 μ {displaystyle mu } 为 X {displaystyle X} 的数学期望：对于常数 c {displaystyle c} 和随机变量 X {displaystyle X} 和 Y {displaystyle Y} ：在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差并不实际。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。从一大组数值 X 1 , ⋯ , X N {displaystyle X_{1},cdots ,X_{N}} 当中取出一样本数值组合 x 1 , ⋯ , x n : n < N {displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}:n<N} ，常定义其样本标准差：样本方差 s 2 {displaystyle s^{2}} 是对总体方差 σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} 的无偏估计。之所以 s {displaystyle s} 中的分母要用 n − 1 {displaystyle n-1} 而不是像总体样本差那样用 n {displaystyle n} ，是因为 ( x i − x ¯ ) {displaystyle left(x_{i}-{bar {x}}right)} 的自由度为 n − 1 {displaystyle n-1} ，这是由于存在约束条件 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) = 0 {displaystyle sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)=0} 。这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }：在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。一组数据的平均值及标准差常常同时作为参考的依据。从某种意义上说，如果用平均值来考量数值的中心的话，则标准差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。较确切的叙述为：设 X 1 , ⋯ , X N {displaystyle X_{1},cdots ,X_{N}} 为实数，定义函数：使用微积分或者通过配方法，不难算出 σ ( μ ) {displaystyle sigma (mu )} 在下面情况下具有唯一最小值：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 n {displaystyle n} 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值， X 1 , X 2 , X 3 {displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} 。它们可以在3维空间中确定一个点 P = ( X 1 , X 2 , X 3 ) {displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})} 。想像一条通过原点的直线 L = ( r , r , r ) : r ∈ R {displaystyle L={(r,r,r):rin mathbb {R} }} 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 P {displaystyle P} 就是直线 L {displaystyle L} 上的一个点， P {displaystyle P} 到 L {displaystyle L} 的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 P {displaystyle P} 作垂线 P R {displaystyle PR} 垂直于 L {displaystyle L} ， P R {displaystyle PR} 交 L {displaystyle L} 于点 R {displaystyle R} ，则 R {displaystyle R} 的坐标为这3个值的平均数：运用一些代数知识，不难发现点 P {displaystyle P} 与点 R {displaystyle R} 之间的距离（也就是点 P {displaystyle P} 到直线 L {displaystyle L} 的距离）是 σ 3 {displaystyle sigma {sqrt {3}}} 。在 n {displaystyle n} 维空间中，这个规律同样适用，把 3 {displaystyle 3} 换成 n {displaystyle n} 就可以了。