Rüchardt实验

Rüchardt实验是测定理想气体绝热指数（即理想气体恒压热容与恒容热容之比）的一个著名实验。该实验最早由Eduard Rüchardt (March 29, 1888 – March 7, 1962)引入，通过测定绝热气缸上活塞的微振动周期，从而得出绝热指数的数值。

如图所示，压强为P的理想气体置于绝热容器中，该容器上方连有一截面积为A的竖直绝热管，管内有一质量为m的活塞，活塞上方连通大气。活塞与管壁的摩擦可忽略。被封闭气体的总体积为V；整个装置处于重力场g中。

现在考虑活塞在平衡位置附近做小幅振动的情形。假设活塞偏离平衡位置的位移为x，则此时，作用于活塞的外力F为：

${\displaystyle F=A\mathrm{d}P}$

其中dP是此时气体压强与活塞处平衡位置时的压强P之差。根据牛顿第二定律，此时活塞的加速度a为：

${\displaystyle a=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{A}{m}\mathrm{d}P}$

由于活塞在平衡位置附近做小幅振动时，容器内的气体经历准静态绝热过程。由泊松方程可知：

${\displaystyle V^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\mathrm{d}P+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}P{V}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}\mathrm{d}V=0}$

${\displaystyle \mathrm{d}P=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}P}{V}\mathrm{d}V}$

其中dV是容器内气体体积的变化量，显然有：

${\displaystyle \mathrm{d}V=Ax}$

联立以上五式，可得活塞运动的微分方程：

${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}P{A}^2}{mV}x=0}$

这是一个二阶线性微分方程。通过求解可知活塞的振动周期T为：

${\displaystyle T=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{mV}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}P{A}^2}}}$

因而通过测定活塞的振动周期T即可得到绝热指数γ的值：

${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}mV}{A^{2}P{T}^2}}$