三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程,一元三次方程一般形式为
其中
是属于一个域的数字,通常这个域为R或C。
本条目只解释一元三次方程,而且简称之为三次方程。
中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。
波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。
在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如
的方程。事实上,如果我们允许
是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。
尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。
红色字体部分为判别式
。
当
时,方程有一个实根和两个共轭复根;
当
时,方程有三个实根:当
时,方程有一个三重实根;
当
时,方程的三个实根中有两个相等;
当
时,方程有三个不等的实根。
,其中
。
若令
,则



令
为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根
,然后把方程
除以
,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。
在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。
解方程步骤:
接下来,
和
是
和
的立方根,适合
,
,最后得出
。
在域
里,若
和
是立方根,其它的立方根就是
和
,当然还有
和
,其中
,是1的一个复数立方根。
因为乘积
固定,所以可能的
是
,
和
。因此三次方程的其它根是
和
。
最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在
里,就是
的代数闭包。其中差异出现于
和
的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。
可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式
,
注意到实系数三次方程至少有一实根存在,这是因为非常数多项式在
和
的极限是无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。
解
。
我们依照上述步骤进行:
该方程的另外两个根:
这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。
方程是
。
从函数
算出判别式的值
,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。
前两步都不需要做,做第三步:
,
,
。
和
是
的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。
我们解出
和
。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部:现设
。
得到
和
,也就是
,而
是其共轭:
。
归结得
,可以立时验证出来。
其它根是
和
,其中
。
当
是负,
相关
- 作家古希腊文学是指古代希腊世界的文学。广义的古希腊文学涵盖了从氏族制希腊社会到希腊化时代的文学,持续时间近1000年。古希腊文学是整个西方文学的源头,也是欧洲文学的第一个高
- 软木塞软木塞指的是用含有软木脂而不渗水、柔软而有浮力的木质制成的木塞。常用作葡萄酒瓶塞,而选材主要是西班牙栓皮栎。葡萄牙的牧场(Dehesa)每年出产全球一半的软木塞,而该国的Cort
- 知恩寺知恩寺(ちおんじ)是位在日本京都府京都市左京区的寺院,净土宗七大本山之一。山号“长德山”(ちょうとくざん)。本尊阿弥陀如来、开基(创立者)为源智、开山为法然。通称“百万遍知恩
- 衰变产物在原子核物理学中,衰变产物(也称至子同位素)是一个元素经过辐射衰变后剩下来的核素。辐射衰变通常涉及很多过程(衰变链)。例如,铀238(U-238)衰变至钍234(Th-234),钍234(Th-234)
- 夏威夷县夏威夷县(英语:Hawaii County)是美国夏威夷州的一个县,与夏威夷岛同域。夏威夷县的陆地面积为10,433平方公里。根据2010年人口普查,夏威夷县共有人口185,079人。夏威夷县的县治为
- .dz.dz为阿尔及利亚国家及地区顶级域(ccTLD)的域名。此外还拥有阿拉伯语顶级域名الجزائر.。A .ac .ad .ae .af .ag .ai .al .am .ao .aq .ar .as .at .au .aw .ax .az
- 潘晓静潘晓静(韩语:반효정,1942年11月27日-)为大韩民国的女演员。1964年KBS第4期公开选拔演员。演出作品有《爱在何方/天赐我爱》、《感谢人生》、情境喜剧《三个好友》、《千秋太后》、
- G1股份有限公司G1股份有限公司(朝鲜语:주식회사 G1,英语:Gangwon No.1 Broadcasting)(江原第一广播),原名江原民放,是坐落在韩国江原道的一家地区性民间广播电视公司。2001年4月23日成立,2001年12月1
- 互斥关系在计算机科学中,互斥关系是一种数据库关系。在关系数据库设计中,某些情况下,一种关系类型的存在会妨碍另一种关系类型的存在。若实体A通过关系R仅可以与实体B或实体C中的一个实
- 黄柏语黄暄淳(1992年5月15日-),艺名黄柏语,绰号“小淳”,台湾男歌手,高雄人,正就读于台北艺术大学。2008年12月23日,加入第二届模范棒棒堂,当时艺名为“小淳”,才艺是现代舞蹈,后来于2009年2月