三次方程

✍ dations ◷ 2025-11-09 12:24:30 #初等代数,方程,多项式

三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为

其中 $a,b,c,d(\neq 0)$ $a,b,c,d(\neq 0)$ 是属于一个域的数字，通常这个域为R或C。

本条目只解释一元三次方程，而且简称之为三次方程。

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如 $x^{3}+mx=n$ $x^{3}+mx=n$ 的方程。事实上，如果我们允许 $m, n {\displaystyle m,n}$ $m,n$ 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

红色字体部分为判别式 $\Delta$ $\Delta$ 。

当 $\Delta >0$ $\Delta >0$ 时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当 $\Delta =0$ $\Delta =0$ 时，方程有三个实根：当

时，方程有一个三重实根；

当

时，方程的三个实根中有两个相等；

当 $\Delta <0$ $\Delta <0$ 时，方程有三个不等的实根。

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ，其中 $a\neq 0$ $a\ne0$ 。

若令 $\Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0$ $\Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0$ ，则

$x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$ $x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$

$x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$ $x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$

$x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$ $x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left$

令 $K {\displaystyle K}$ $K$ 为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根 $r {\displaystyle r}$ $r$ ，然后把方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 除以 $x-r$ $x-r$ ，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。

在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。

解方程步骤：

接下来， $u {\displaystyle u}$ $u$ 和 $v {\displaystyle v}$ $v$ 是 $U {\displaystyle U}$ $U$ 和 $V {\displaystyle V}$ $V$ 的立方根，适合 $uv=-{\frac {p}{3}}$ $uv=-{\frac {p}{3}}$ ， $z=u+v$ $z=u+v$ ，最后得出 $x=z-{\frac {b'}{3}}$ $x=z-{\frac {b'}{3}}$ 。

在域 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 里，若 $u_{0}$ $u_{0}$ 和 $v_{0}$ $v_0$ 是立方根，其它的立方根就是 $\omega u_{0}$ $\omega u_{0}$ 和 $\omega ^{2}u_{0}$ $\omega ^{2}u_{0}$ ，当然还有 $\omega v_{0}$ $\omega v_{0}$ 和 $\omega ^{2}v_{0}$ $\omega ^{2}v_{0}$ ，其中 $\omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ $\omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ ，是1的一个复数立方根。

因为乘积 $uv=-{\frac {p}{3}}$ $uv=-{\frac {p}{3}}$ 固定，所以可能的 $(u,v)$ $(u,v)$ 是 $(u_{0},v_{0})$ $(u_{0},v_{0})$ ， $(\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})$ $(\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})$ 和 $(\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})$ $(\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})$ 。因此三次方程的其它根是 $\omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3}}$ $\omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3}}$ 和 $\omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3}}$ $\omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3}}$ 。

最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 里，就是 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 的代数闭包。其中差异出现于 $U {\displaystyle U}$ $U$ 和 $V {\displaystyle V}$ $V$ 的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式 $\Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ $\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ ，

注意到实系数三次方程至少有一实根存在，这是因为非常数多项式在 $+\infty$ $+\infty$ 和 $-\infty$ $-\infty$ 的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号，又因为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。

解 $2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0$ $2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0$ 。

我们依照上述步骤进行：

该方程的另外两个根：

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是 $x^{3}-15x-4=0$ $x^{3}-15x-4=0$ 。

从函数 $x\mapsto x^{3}-15x-4$ $x\mapsto x^{3}-15x-4$ 算出判别式的值 $\Delta =-13068<0$ $\Delta =-13068<0$ ，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步： $x=u+v$ $x=u+v$ ， $U=u^{3}$ $U=u^{3}$ ， $V=v^{3}$ $V=v^{3}$ 。

$U {\displaystyle U}$ $U$ 和 $V {\displaystyle V}$ $V$ 是 $X^{2}-4X+125=0$ $X^{2}-4X+125=0$ 的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出 $U=2-11{\mathrm {i} }$ $U=2-11{\mathrm {i} }$ 和 $V=2+11{\mathrm {i} }$ $V=2+11{\mathrm {i} }$ 。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：现设 $u=a+b{\mathrm {i} }$ $u=a+b{\mathrm {i} }$ 。

得到 $a=2$ $a = 2$ 和 $b=-1$ $b=-1$ ，也就是 $u=2-{\mathrm {i} }$ $u=2-{\mathrm {i} }$ ，而 $v {\displaystyle v}$ $v$ 是其共轭： $v=2+{\mathrm {i} }$ $v=2+{\mathrm {i} }$ 。

归结得 $x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4$ $x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4$ ，可以立时验证出来。

其它根是 $x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}$ $x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x''=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3}}$ $x'' = j^2 (2 - {\mathrm{i}}) + j(2 + {\mathrm{i}}) = - 2 - \sqrt 3$ ，其中 $j={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ $j=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 。

当 $\Delta$ $\Delta$ 是负， $U {\displaystyle U}$ $\text{[math]}$

相关

语言岛语言岛，也称语言孤岛、方言岛，是指某种语言完全处于其他语言或方言地理上的包围之中的一种语言现象。多数是由人口迁徙造成的。一般情况下，语言岛内的语言使用范围狭小，处于周边
性伙伴性伙伴（英：friend with benefit），或称为床伴（亦作床友，英：pillow friend）、砲友（或炮友，英：fuck buddy），指非恋爱、婚姻、性交易，但具有性关系的朋友，其目的主要为双方解决性欲，并不一定寻求
元基因组学宏基因组学（英语：Metagenomics），又译元基因组学、总体基因体学，是一门直接取得环境中所有遗传物质的研究。研究领域广泛，也可称为环境基因体学、生态基因体学或群落基因体学。在早
梅纳反应美拉德反应（Maillard reaction），又称美拉德反应、梅拉德反应、梅纳反应、羰胺反应，是广泛分布于食品工业的非酶褐变反应，指的是食物中的还原糖（碳水化合物）与氨基酸／蛋白质在常温或
卜拉欣·加利卜拉欣·加利（阿拉伯语：إبراهيم غالي‎；1949年9月16日－）现任阿拉伯撒哈拉民主共和国总统，阿拉伯撒哈拉民主共和国外交家、政治家。曾任波利萨里奥阵线驻西班牙代表。在
惯性约束聚变惯性约束聚变（英语：Inertial confinement fusion，缩写为ICF），也译为局限惯性核聚变、惯性约束核聚变、惯性限制氢聚变、惯性局限融合，是一种核聚变的技术。这项技术利用激光的冲击
亚铬酸铜亚铬酸铜（Adkins催化剂），有机合成中的催化剂，用于催化氧还反应（氢化、氢解等）。晶体不溶于水，尖晶石结构，具铁磁性。成分可表示为Cu2Cr2O5，但通常还含有氧化钡。用于催化脱羧反应的催
梅花村街道梅花村街道是广东省广州市越秀区下辖的一个街道，位于越秀区东部。以辖区内的梅花村得名。辖区总面积1.73平方公里，下辖15个社区，常住人口7.53万人。梅花村街位于原有的东山区的
莫里斯·布尔热-莫努里莫里斯·布尔热-莫努里（Maurice Jean Marie Bourgès-Maunoury，法语发音：.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Luci
孟加拉国文官队伍孟加拉国公务员制度（孟加拉语：বাংলাদেশদেশিভিললার্ভিস），是孟加拉国政府的公务员制度，其缩写BCS更为广为人知。它起源于巴基斯坦的中央高级服务。自孟加拉