超现实数

${\displaystyle \mathbb{N}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Z}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Q}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.14159265}$…
自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$…
虚数单位 ${\displaystyle i=\sqrt{-<!--\; -\; -->1}}$
无穷大 ${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$

在数学上，超现实数系统（英语：Surreal Numbers）是一种连续统，其中含有实数以及无穷量，即无穷大（小）量，其绝对值大（小）于任何正实数。超现实数与实数有许多共同性质，包括其全序关系“≤”以及通常的算术运算（加减乘除）；也因此，它们构成了有序域。在严格的集合论意义下，超现实数是可能出现的有序域中最大的；其他的有序域，如有理数域、实数域、有理函数域、列维-奇维塔域（英语：Levi-Civita field）、上超实数域（英语：Superreal number）和超实数域等，全都是超现实数域的子域。超现实数域也包含可达到的、在集合论里构造过的所有超限序数。

超现实数是由约翰·何顿·康威（John Horton Conway）所定义和构造的。这个名称早在1974年便已由高德纳（Donald Knuth）在他的书《研究之美》中就被引进了。《研究之美》是一部中短篇数学小说，而值得一提的是，这种把新的数学概念在一部小说中提出来的情形是非常少有的。在这部由对话体写成的著作里，高德纳造了“surreal number”一词，用来指称康威起初只叫做“number”（数）的这个新概念。康威乐于采用新的名称，后来在他1976年的著作《论数字与博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超现实数的概念并使用它来进行了一些博弈分析。

康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 ${\displaystyle \{L|R\}}$。这两个集合要求 ${\displaystyle L}$ 里的每个元素都严格小于每个 ${\displaystyle R}$ 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：${\displaystyle \{1|3\}=\left\{\frac{3}{2}|\frac{5}{2}\right\}=2}$。

让我们先来看几个简单的例子。

因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。）

至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：${\displaystyle \frac{1}{3}=\{0,\frac{1}{4},\frac{5}{16},\dots <!--\; \dots \; -->|\frac{1}{2},\frac{3}{8},\dots <!--\; \dots \; -->\}}$，${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=\{3,\frac{25}{8},\frac{201}{64},\dots <!--\; \dots \; -->|4,\frac{7}{2},\frac{13}{4},\frac{51}{16},\dots <!--\; \dots \; -->\}}$，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

根据归纳法，我们可以构造出 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\{0,1,2,3\dots <!--\; \dots \; -->|\}}$，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->1=\{0,1,2,3\dots <!--\; \dots \; -->|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\}}$ 等无穷大的数，${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\{0|1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\dots <!--\; \dots \; -->\}}$ 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

我们定义 ${\displaystyle P_0=0}$。

若 ${\displaystyle x=\{L|R\},L,R\subset <!--\; \subset \; -->P_i}$ 且 ${\displaystyle x\notin P_i}$，那么 ${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->P_{i+1}}$，这在直观上等阶于“${\displaystyle x}$是在第${\displaystyle i}$天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

我们将超现实数集合称作 ${\displaystyle \mathbb{N}\mathbb{o}}$。

给定 ${\displaystyle x=\{X_L|X_R\},y=\{Y_L|Y_R\}}$，我们（递归地）定义 ${\displaystyle x\le <!--\; \le \; -->y}$ 当且仅当以下两命题同时成立：

那么可以自然地定义 。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。

我们分别将 称为 ${\displaystyle x}$ 负、 ${\displaystyle x}$ 正、 ${\displaystyle x}$ 非正、 ${\displaystyle x}$ 非负。

我们定义 ${\displaystyle x\Vert <!--\; \Vert \; -->y}$ 表示 ${\displaystyle x\le <!--\; \le \; -->y}$ 与 ${\displaystyle y\le <!--\; \le \; -->x}$ 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

我们定义超现实数之间的加法为 ${\displaystyle x+y=\left\{X_L+y\cup <!--\; \cup \; -->x+Y_L|X_R+y\cup <!--\; \cup \; -->x+Y_R\right\}}$，其中 ${\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in <!--\; \in \; -->X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in <!--\; \in \; -->Y\right\}}$。

我们定义负号（加法逆元）为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->x=\left\{-<!--\; -\; -->X_R|-<!--\; -\; -->X_L\right\}}$，其中 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->X=\left\{-<!--\; -\; -->x|x\in <!--\; \in \; -->X\right\}}$。

可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

我们定义乘法运算为$xy=\left\{(X_{L}y+x{Y}_L-<!--\; -\; -->X_L{Y}_L)\cup <!--\; \cup \; -->(X_{R}y+x{Y}_R-<!--\; -\; -->X_R{Y}_R)|(X_{L}y+x{Y}_R-<!--\; -\; -->X_L{Y}_R)\cup <!--\; \cup \; -->(X_{R}y+x{Y}_L-<!--\; -\; -->X_R{Y}_L)\right\}$，其中 ${\displaystyle XY=\{xy|x\in <!--\; \in \; -->X,y\in <!--\; \in \; -->Y\},xY=\{x\}Y,Xy=X\{y\}}$。

我们定义（正数的）乘法逆元为$\frac{1}{y}=\{0,\frac{1+(y^R-<!--\; -\; -->y)(\frac{1}{y}{)}^L}{y^R},\frac{1+(y^L-<!--\; -\; -->y)(\frac{1}{y}{)}^R}{y^L}|\frac{1+(y^L-<!--\; -\; -->y)(\frac{1}{y}{)}^L}{y^L},\frac{1+(y^R-<!--\; -\; -->y)(\frac{1}{y}{)}^R}{y^R}\}$，这样除法就是 ${\displaystyle \frac{x}{y}=x\left(\frac{1}{y}\right)}$。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取$y=3=\{2|\}$ 那么 $\frac{1}{3}$ 会有一个 $0$ 作为左项，导致了$\frac{1+(2-<!--\; -\; -->3)0}{2}=1/2$ 会是一个右项。这又意味着 $\frac{1+(2-<!--\; -\; -->3)\left(\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{1}{4}$ 作为左项、$\frac{1+(2-<!--\; -\; -->3)\left(\frac{1}{4}\right)}{2}=\frac{3}{8}$ 作为右项，以此类推，所以我们有$\frac{1}{3}=\{0,\frac{1}{4},\frac{5}{16},\dots <!--\; \dots \; -->|\frac{1}{2},\frac{3}{8},\dots <!--\; \dots \; -->\}$ （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 。

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},x=A|A^{\prime }}$，其中 ${\displaystyle A,A^{\prime }\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{Q}}$，那么立刻可知存在 ${\displaystyle X\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathbb{o},X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的一个超现实数表示，其中 ${\displaystyle f:\mathbb{Q}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{N}\mathbb{o}}$ 是有理数到超现实数的域同态。

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为${\displaystyle \mathbb{O}\mathbb{r}\mathbb{d}}$，那么我们有：

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 ${\displaystyle }$