二次函数

在数学中，二次函数（英语：quadratic function）表示形为 ${\displaystyle f(x)=a{x}^2+bx+c}$，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

二次方程 ${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$ 的两个根为：

设${\displaystyle r_1=\frac{-<!--\; -\; -->b+\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}}$和${\displaystyle r_2=\frac{-<!--\; -\; -->b-<!--\; -\; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}}$，我们可以把${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$因式分解为${\displaystyle a(x-<!--\; -\; -->r_1)(x-<!--\; -\; -->r_2)}$。

二次函数可以表示成以下三种形式：

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根${\displaystyle r_1}$和${\displaystyle r_2}$，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式变换成标准形式有特殊的方法。

${\displaystyle h}$代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为${\displaystyle h}$

不通过${\displaystyle r_1}$和${\displaystyle r_2}$求${\displaystyle k}$及${\displaystyle h}$公式：

而在三种形式中皆出现的${\displaystyle a}$为此二次函数的领导系数，决定二次函数图像开口的大小与方向。

当函数与${\displaystyle x}$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 ${\displaystyle A(x_1,0),B(x_2,0)}$，由根与系数的关系得出：${\displaystyle x_1+x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}}$和${\displaystyle x_1{x}_2=\frac{c}{a}}$

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为${\displaystyle (h,k)}$。用配方法，可以把一般形式${\displaystyle f(x)=a{x}^2+bx+c}$化为：

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：

经过顶点的竖直线

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数${\displaystyle f(x)=a{x}^2+bx+c}$，寻找它的极值时，我们必须先求出它的导数：

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果${\displaystyle a>0}$，则方程${\displaystyle y=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线${\displaystyle y_p=a{x}^2+bx+c}$的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果，则方程${\displaystyle y=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线${\displaystyle y_p=a{x}^2+bx+c}$的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数是以下形式的二次多项式：

如果，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 ${\displaystyle 4AB-<!--\; -\; -->E^2>0}$，则当${\displaystyle A>0}$时函数具有最小值，当具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 ${\displaystyle (x_m,y_m)}$ 取得，其中：

如果${\displaystyle 4AB-<!--\; -\; -->E^2=0}$且${\displaystyle DE-<!--\; -\; -->2CB=2AD-<!--\; -\; -->CE=0}$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当${\displaystyle A>0}$时取得最大值，时取得最小值。其图像也是抛物柱面。