二次函数

✍ dations ◷ 2025-09-12 02:12:02 #二次函数

在数学中，二次函数（英语：quadratic function）表示形为 ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}$ ，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

二次方程 ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,!}$ $ax^{2}+bx+c=0,!$ 的两个根为：

设 ${displaystyle r_{1}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ $r_{1}={frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 和 ${displaystyle r_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ $r_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ，我们可以把 ${displaystyle ax^{2}+bx+c,!}$ $ax^{2}+bx+c,!$ 因式分解为 ${displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2}),!}$ $a(x-r_{1})(x-r_{2}),!$ 。

二次函数可以表示成以下三种形式：

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根 ${displaystyle r_{1}}$ $r_{1}$ 和 ${displaystyle r_{2}}$ $r_{2}$ ，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式变换成标准形式有特殊的方法。

${displaystyle h}$ $h$ 代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为 ${displaystyle h}$ $h$

不通过 ${displaystyle r_{1}}$ $r_{1}$ 和 ${displaystyle r_{2}}$ $r_{2}$ 求 ${displaystyle k}$ $k$ 及 ${displaystyle h}$ $h$ 公式：

而在三种形式中皆出现的 ${displaystyle a}$ $a$ 为此二次函数的领导系数，决定二次函数图像开口的大小与方向。

当函数与 ${displaystyle x}$ $x$ 轴有两个交点时，设这两个交点分别为 ${displaystyle A(x_{1},0),,B(x_{2},0)}$ ${displaystyle A(x_{1},0),,B(x_{2},0)}$ ，由根与系数的关系得出： ${displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}}$ ${displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}}}$ 和 ${displaystyle x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}}$ $x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}$

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为 ${displaystyle (h,k),!}$ $(h,k),!$ 。用配方法，可以把一般形式 ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c,!$ 化为：

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：

经过顶点的竖直线

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数 ${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,!}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c,!$ ，寻找它的极值时，我们必须先求出它的导数：

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果 ${displaystyle a>0,!}$ $a>0,!$ ，则方程 ${displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 ${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!}$ $y_{p}=ax^{2}+bx+c,!$ 的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果 ${displaystyle a<0,!}$ $a<0,!$ ，则方程 ${displaystyle y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ $y=pm {sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线 ${displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c,!}$ $y_{p}=ax^{2}+bx+c,!$ 的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数是以下形式的二次多项式：

如果 ${displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$ $4AB-E^{2}<0,$ ，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 ${displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ $4AB-E^{2}>0,$ ，则当 ${displaystyle A>0}$ ${displaystyle A>0}$ 时函数具有最小值，当 ${displaystyle A<0}$ ${displaystyle A<0}$ 具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 ${displaystyle (x_{m},y_{m}),}$ $(x_{m},y_{m}),$ 取得，其中：

如果 ${displaystyle 4AB-E^{2}=0,}$ $4AB-E^{2}=0,$ 且 ${displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$ $DE-2CB=2AD-CE=0,$ ，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当 ${displaystyle A>0}$ ${displaystyle A>0}$ 时取得最大值， ${displaystyle A<0}$ ${displaystyle A<0}$ 时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

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