佩服数

在数论中，佩服数（英文：Admirable numbers），是指若一个正整数除了本身外之所有的约数，存在一个约数${\displaystyle d{}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$）之和。${\displaystyle d{}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$是n的其中一个约数。

例如20的约数有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的结果为${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(20\right)=1+2+4+5+10+20=42}$，存在一个约数1，使得${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(20\right)-<!--\; -\; -->1\times <!--\; \times \; -->2=20\times <!--\; \times \; -->2}$，所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集，换句话说所有佩服数都是过剩数。

最小的一些佩服数是：

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945，同时最小的奇过剩数、奇半完全数也是945。

前几个奇佩服数是：

连续的佩服数比连续的过剩数还要少。在1012以下，只有两组连续佩服数，分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)。

佩服数的分布并不像过剩数那样，过剩数有着非零的自然密度，而佩服数的成长率非线性的，例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个（OEIS中的数列A109727），其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的素数的六倍都是佩服数，更精确地说，所有的素数与素因数不含该素数之完全数的乘积都是佩服数。

有一种与佩服数类似但不太一样的定义：一个正整数除了本身外之所有约数中，存在一个约数${\displaystyle d{}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$，将其他不是本身的约数相加后，再减掉${\displaystyle d{}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$，等于本身。有这些性质的前几个数有：

例如18的约数有1、2、3、6、9、18有一个约数3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-<!--\; -\; -->3=18}$。

有这种性质的数最小的奇数是173369889，同时也是最小的奇拟完全数（OEIS中的数列A181595），但不是佩服数。

特别的，这些数字正好与盈完全数(Abundant-perfect numbers)重叠，盈完全数的定义为：自己的约数和（不包含自己）减去自己得到的数可以整除自己。

符合这种定义的数未必是佩服数，例如18虽然符合这种定义，但并未符合佩服数的定义，因此18不是佩服数。

萨克斯参考了亲和数的定义，定义了一个新的数叫做相容数（compatible numbers），其定义为有一对数字N和M，分别各存在一个约数d_N和d_M，N将其他不是本身、不是d_N的约数相加后，再减掉d_N，得到M、而M将其他不是本身、不是d_M的约数相加后，再减掉d_M，得到N。

例如30和40：

前几对相容数是：

有一种与佩服数类似但相反的定义：若一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数d'，将其他不是本身的约数相加后，再加上d'，等于本身。有这些性质的前几个数有：

例如10的约数有1、2、5、10有一个约数2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$

特别的，这些数字正好与亏完全数(Deficient-perfect numbers)重叠，亏完全数的定义为：自己减去自己的约数和（不包含自己）得到的数可以整除自己，在这个定义中1也符合，因为1不含自己的约数和是0，1减去零是1，当然可以整除1。

最小的几个亏完全数是：

所有二的乘幂都是亏完全数，除了二的乘幂之外的亏完全数有：

楚姆克勒数（Zumkeller numbers）是指约数可以分为相同总和的两组数字。所有佩服数都是楚姆克勒数，因为佩服数中的相减约数（即其他约数和减去此约数会等于本身的那个约数）以外的约数存在一个约数，其与佩服数中的相减约数相加后会等于其他约数之和。