图兰·帕尔

图兰·帕尔（Turán Pál，匈牙利语发音：；1910年8月18日－1976年9月26日）:271，又称保罗·图兰（Paul Turán），匈牙利数学家（英语：List of Hungarian mathematicians），主要研究极值组合（英语：Extremal combinatorics）。其与艾狄胥·帕尔（同为匈牙利数学家）长期合作，在46年间共同发表28篇论文。

1910年8月18日，图兰生于布达佩斯的犹太家庭。:271图兰和艾狄胥同一时期投稿中学数理期刊（英语：KöMaL）（KöMaL）通信解题比赛，两人皆名列前茅。1933年，图兰于皇家匈牙利帕兹马尼·彼得大学（现罗兰大学）完成师范学位，并继续深造，师从费耶尔·利波特（英语：Lipót Fejér），于1935年获哲学博士。:271

身为犹太人，图兰受大学入学限额（英语：Numerus clausus）所限，有几年无法取得教席。 1940年至44年间，其多次被送入匈牙利劳役团（英语：Labour service (Hungary)）。据称某个法西斯守卫认出图兰，并可能保护了他，因为该守卫是工程师，亦曾参加数学竞赛，很欣赏图兰的数学研究。

1945年，图兰在母校任职副教授，并于1949年升任正教授。:272图兰两次结婚。1939年，他与科博尔·艾迪特（Kóbor Edit）结婚，育有儿子罗伯特（Róbert）。1952年，改为与数学家绍什·韦劳（英语：Vera Sós）结婚，育有子女利哲尔吉（György）及陶马什（Tamás）。:20

1976年9月26日，图兰在布达佩斯因白血病离世，享年66岁。:8

图兰主要研究数论，:4同时也有研究分析和图论，其贡献举例如下。

1934年，图兰简洁地证明了哈代－拉马努金定理（英语：Hardy–Ramanujan theorem）。该定理最先由哈代和拉马努金于1917年证明，其断言正整数${\displaystyle n}$的互异质因数个数${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(n)}$与${\displaystyle \log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->n}$很接近，其中${\displaystyle \log }$为自然对数。图兰利用图兰筛（英语：Turán sieve），给出了新的简洁证明。从概率的角度看，他估计了${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(n)}$离${\displaystyle \log <!--\; \; -->\log <!--\; \; -->n}$的方差。豪拉斯·加博尔（英语：Gábor Halász (mathematician)）评论说：“该证明的重要性在于其创始了概率数论（英语：probabilistic number theory）。”:16图兰－库比柳斯不等式（英语：Turán–Kubilius inequality）为上述结果的推广。:5 :16

图兰对质数在等差数列中的分布感兴趣。其称不同剩余类中质数分布参差不齐的情况为“质数赛跑”（英语：prime number race）。:5图兰与斯塔尼斯瓦夫·克纳波夫斯基（英语：Stanisław Knapowski）合作，证明了有关切比雪夫偏差（英语：Chebyshev's bias）的结果。图兰亦有研究黎曼猜想，并为此发明了幂和法（见下段）。艾狄胥称图兰为不信黎曼猜想的‘不信者’、‘异教徒’。:3

图兰在分析方面有不少工作与其数论研究密切相关。此外，其证明了图兰不等式（英语：Turán's inequalities），描述不同阶数的勒壤得多项式的值的大小，又与艾狄胥合作证明了艾狄胥－图兰不等式（英语：Erdős–Turán inequality）。

艾狄胥谈及图兰：“1940年至1941年间，他开创了图论中的极值问题这个新领域，该领域现为组合学成长最快的分支。”:4弗龙克尔·彼得（英语：Péter Frankl）谈及图兰“因为是犹大人而被捉进集中营。有纸和笔就能做数学，但在营中什么也没有。所以他创造了什么都不需要的组合数学。”

艾狄胥和弗龙克尔提及的领域现称为极值图论（英语：extremal graph theory）。图兰在该方面最为人熟知的成果为图兰定理，其给出顶点数为${\displaystyle n}$且无完全子图${\displaystyle K_{r+1}}$的图的边数最大值。他构造了图兰图（英语：Turán graph）${\displaystyle T_{n,r}}$，其为完全二部图的推广，且边数取得上述定理中的最大值。克瓦里－绍什－图兰定理（英语：Kővári–Sós–Turán theorem）给出已知顶点数且无完全二部子图${\displaystyle K_{t,t}}$的二部图边数的上界。此外，图兰提出了图兰砖厂问题，即求完全二部图的交叉数。

图兰发明幂和法（英语：Turán's method），以研究黎曼猜想。:9–14该方法给出型如

的和的下界，因而得名。:319

该方法在解析数论、复分析、数值分析、微分方程、超越数论等方面皆有应用。此外，还适用于估计函数在圆盘内的零点数目。:320