匹配滤波器

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:57:56 #估计理论,电信理论,信号处理,滤波器理论

在信号处理中,匹配滤波器可以用来解调基频带脉冲信号,基频带脉冲信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数,在每个周期出现,每个周期中代表着或多或少的信息量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的,匹配滤波器需要事先知道

1.传送的信号

2.信号的同步

才能解调出传送的信号。

此外,匹配滤波器也可用于模式识别 、相似度测试(similarity measure)。

假设g(t):传送信号

w(t):可加性高斯白噪声

x(t) = g(t) + w(t)

h(t):未知波形

y(t):解调结果

1. x ( t ) = g ( t ) + w ( t ) {\displaystyle 1.x(t)=g(t)+w(t)}

2. y ( t ) = h ( t ) {\displaystyle 2.y(t)=\ast h(t)}  

= g ( t ) h ( t ) + w ( t ) h ( t ) {\displaystyle =g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)}

= G ( t ) + N ( t ) {\displaystyle =G(t)+N(t)}


3. S N R = | G ( T ) | 2 / E | {\displaystyle 3.SNR=|G(T)|^{2}/E|}

SNR = 信号瞬间功率 / Noise平均功率

信号瞬间功率

| G ( T ) | 2 = H ( f ) G ( f ) e j 2 π f T d f {\displaystyle |G(T)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}

噪声平均功率

E = N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle E={\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}

S N R = H ( f ) G ( f ) e j 2 π f T d f N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle SNR={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

| H ( f ) | 2 e j 2 π f T d f | G ( f ) e j 2 π f T | 2 d f N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle \leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

= 2 N 0 | G ( f ) | 2 d f {\displaystyle ={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

4. 当

H o p t ( f ) = k {\displaystyle H_{opt}(f)=k^{*}} , S N R m a x = 2 N 0 | G ( f ) | 2 d f {\displaystyle SNR_{max}={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

所以

h o p t ( t ) = k G ( f ) e j 2 π f T e j 2 π f t d f {\displaystyle h_{opt}(t)=k\int _{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df}

= k G ( z ) e j 2 π f ( T t ) d z {\displaystyle =k\int _{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz}

= k g ( T t ) {\displaystyle =kg(T-t)}

(备注)Cauchy-Schwartz inequality:

| A ( x ) | 2 d x < {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty } | B ( x ) | 2 d x < {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty }

| A ( x ) B ( x ) d x | 2 | A ( x ) | 2 d x | B ( x ) | 2 d x {\displaystyle |\int _{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx}

A = k B {\displaystyle A=kB^{*}} 时,等号成立。

  x = s + v , {\displaystyle \ x=s+v,\,}

  R v = E { v v H } . {\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}


S N R = | y s | 2 E { | y v | 2 } . {\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}


  | y s | 2 = y s H y s = h H s s H h . {\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}


  E { | y v | 2 } = E { y v H y v } = E { h H v v H h } = h H R v h . {\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}

S N R = h H s s H h h H R v h . {\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}

如果我们限制分母为1, 最大化 S N R {\displaystyle \mathrm {SNR} } 的问题可以被简化为最大化分子.

于是可以使用 拉格朗乘数

因为 s s H {\displaystyle ss^{\mathrm {H} }} 是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=

若欲侦测一特定信号 h,我们可以将h时域反向并取共轭,当做滤波器。

一维信号


二维信号


模拟结果:

但由于卷积是线性的,当信号能量大,算出来的值也会跟着变大而有误差,因此我们需要标准化。


标准化公式


一维信号

s = n + τ 1 n + τ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x|^{2}} ≠0

s = n + τ 1 n + τ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x|^{2}} =0


二维信号

s = m + τ 1 m + τ 2 v = n + ρ 1 n + ρ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x|^{2}} ≠0

s = m + τ 1 m + τ 2 v = n + ρ 1 n + ρ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x|^{2}} = 0


标准化后的模拟结果:

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