匹配滤波器

在信号处理中，匹配滤波器可以用来解调基频带脉冲信号，基频带脉冲信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数，在每个周期出现，每个周期中代表着或多或少的信息量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的，匹配滤波器需要事先知道

1.传送的信号

2.信号的同步

才能解调出传送的信号。

此外，匹配滤波器也可用于模式识别 、相似度测试（similarity measure）。

假设g(t)：传送信号

w(t)：可加性高斯白噪声

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解调结果

${\displaystyle 1.x(t)=g(t)+w(t)}$

${\displaystyle 2.y(t)=\ast <!--\; \ast \; -->h(t)}$　

${\displaystyle =g(t)\ast <!--\; \ast \; -->h(t)+w(t)\ast <!--\; \ast \; -->h(t)}$

${\displaystyle =G(t)+N(t)}$

${\displaystyle 3.SNR=|G(T){|}^2/E|}$

SNR = 信号瞬间功率 / Noise平均功率

信号瞬间功率

${\displaystyle |G(T){|}^2={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}H(f)G(f)e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}df}$

噪声平均功率

${\displaystyle E=\frac{N_0}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|H(f){|}^{2}df}$

${\displaystyle SNR=\frac{{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}H(f)G(f)e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}df}{\frac{N_0}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|H(f){|}^{2}df}}$

${\displaystyle \le <!--\; \le \; -->\frac{{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|H(f){|}^2{e}^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}df{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|G(f)e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}{|}^{2}df}{\frac{N_0}{2}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|H(f){|}^{2}df}}$

${\displaystyle =\frac{2}{N_0}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|G(f){|}^{2}df}$

4. 当

${\displaystyle H_{opt}(f)=k\ast <!--\; \ast \; -->}$ , ${\displaystyle SN{R}_{max}=\frac{2}{N_0}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|G(f){|}^{2}df}$

所以

${\displaystyle h_{opt}(t)=k{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}G(-<!--\; -\; -->f)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fT}{e}^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ft}df}$

${\displaystyle =k{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}G(z)e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}f(T-<!--\; -\; -->t)}dz}$

${\displaystyle =kg(T-<!--\; -\; -->t)}$

(备注)Cauchy-Schwartz inequality:

若

且

则

${\displaystyle |{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}A(x)B(x)dx{|}^2\le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|A(x){|}^{2}dx{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}|B(x){|}^{2}dx}$

当 ${\displaystyle A=k{B}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$时，等号成立。

${\displaystyle x=s+v,}$

${\displaystyle R_v=E\{v{v}^{\mathrm{H}}\}.}$

${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\frac{|y_s{|}^2}{E\{|y_v{|}^2\}}.}$

${\displaystyle |y_s{|}^2={y_s}^{\mathrm{H}}{y}_s=h^{\mathrm{H}}s{s}^{\mathrm{H}}h.}$

${\displaystyle E\{|y_v{|}^2\}=E\{{y_v}^{\mathrm{H}}{y}_v\}=E\{h^{\mathrm{H}}v{v}^{\mathrm{H}}h\}=h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h.}$

${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=\frac{h^{\mathrm{H}}s{s}^{\mathrm{H}}h}{h^{\mathrm{H}}{R}_{v}h}.}$

如果我们限制分母为1, 最大化 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}}$ 的问题可以被简化为最大化分子.

于是可以使用 拉格朗乘数

因为 ${\displaystyle s{s}^{\mathrm{H}}}$ 是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=

若欲侦测一特定信号 h，我们可以将h时域反向并取共轭，当做滤波器。

一维信号

二维信号

模拟结果：

但由于卷积是线性的，当信号能量大，算出来的值也会跟着变大而有误差，因此我们需要标准化。

标准化公式

一维信号

当 ${\displaystyle \underset{s=n+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\overset{n+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x{|}^2}$ ≠0

当 ${\displaystyle \underset{s=n+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\overset{n+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x{|}^2}$ =0

二维信号

当 ${\displaystyle \underset{s=m+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\overset{m+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{v=n+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}{\overset{n+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x{|}^2}$ ≠0

当 ${\displaystyle \underset{s=m+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1}{\overset{m+{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{v=n+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}{\overset{n+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x{|}^2}$ = 0

标准化后的模拟结果：