匹配滤波器

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:31:35 #估计理论,电信理论,信号处理,滤波器理论

在信号处理中,匹配滤波器可以用来解调基频带脉冲信号,基频带脉冲信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数,在每个周期出现,每个周期中代表着或多或少的信息量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的,匹配滤波器需要事先知道

1.传送的信号

2.信号的同步

才能解调出传送的信号。

此外,匹配滤波器也可用于模式识别 、相似度测试(similarity measure)。

假设g(t):传送信号

w(t):可加性高斯白噪声

x(t) = g(t) + w(t)

h(t):未知波形

y(t):解调结果

1. x ( t ) = g ( t ) + w ( t ) {\displaystyle 1.x(t)=g(t)+w(t)}

2. y ( t ) = h ( t ) {\displaystyle 2.y(t)=\ast h(t)}  

= g ( t ) h ( t ) + w ( t ) h ( t ) {\displaystyle =g(t)\ast h(t)+w(t)\ast h(t)}

= G ( t ) + N ( t ) {\displaystyle =G(t)+N(t)}


3. S N R = | G ( T ) | 2 / E | {\displaystyle 3.SNR=|G(T)|^{2}/E|}

SNR = 信号瞬间功率 / Noise平均功率

信号瞬间功率

| G ( T ) | 2 = H ( f ) G ( f ) e j 2 π f T d f {\displaystyle |G(T)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}

噪声平均功率

E = N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle E={\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}

S N R = H ( f ) G ( f ) e j 2 π f T d f N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle SNR={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }H(f)G(f)e^{j2\pi fT}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

| H ( f ) | 2 e j 2 π f T d f | G ( f ) e j 2 π f T | 2 d f N 0 2 | H ( f ) | 2 d f {\displaystyle \leq {\frac {\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}e^{j2\pi fT}\,df\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)e^{j2\pi fT}|^{2}\,df}{{\frac {N_{0}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }|H(f)|^{2}\,df}}}

= 2 N 0 | G ( f ) | 2 d f {\displaystyle ={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

4. 当

H o p t ( f ) = k {\displaystyle H_{opt}(f)=k^{*}} , S N R m a x = 2 N 0 | G ( f ) | 2 d f {\displaystyle SNR_{max}={\frac {2}{N_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }|G(f)|^{2}\,df}

所以

h o p t ( t ) = k G ( f ) e j 2 π f T e j 2 π f t d f {\displaystyle h_{opt}(t)=k\int _{-\infty }^{\infty }G(-f)e^{-j2\pi fT}e^{j2\pi ft}\,df}

= k G ( z ) e j 2 π f ( T t ) d z {\displaystyle =k\int _{-\infty }^{\infty }G(z)e^{-j2\pi f(T-t)}\,dz}

= k g ( T t ) {\displaystyle =kg(T-t)}

(备注)Cauchy-Schwartz inequality:

| A ( x ) | 2 d x < {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx<\infty } | B ( x ) | 2 d x < {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx<\infty }

| A ( x ) B ( x ) d x | 2 | A ( x ) | 2 d x | B ( x ) | 2 d x {\displaystyle |\int _{-\infty }^{\infty }A(x)B(x)\,dx|^{2}\leq \int _{-\infty }^{\infty }|A(x)|^{2}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }|B(x)|^{2}\,dx}

A = k B {\displaystyle A=kB^{*}} 时,等号成立。

  x = s + v , {\displaystyle \ x=s+v,\,}

  R v = E { v v H } . {\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}


S N R = | y s | 2 E { | y v | 2 } . {\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}


  | y s | 2 = y s H y s = h H s s H h . {\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}


  E { | y v | 2 } = E { y v H y v } = E { h H v v H h } = h H R v h . {\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}

S N R = h H s s H h h H R v h . {\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}

如果我们限制分母为1, 最大化 S N R {\displaystyle \mathrm {SNR} } 的问题可以被简化为最大化分子.

于是可以使用 拉格朗乘数

因为 s s H {\displaystyle ss^{\mathrm {H} }} 是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=

若欲侦测一特定信号 h,我们可以将h时域反向并取共轭,当做滤波器。

一维信号


二维信号


模拟结果:

但由于卷积是线性的,当信号能量大,算出来的值也会跟着变大而有误差,因此我们需要标准化。


标准化公式


一维信号

s = n + τ 1 n + τ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x|^{2}} ≠0

s = n + τ 1 n + τ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x|^{2}} =0


二维信号

s = m + τ 1 m + τ 2 v = n + ρ 1 n + ρ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x|^{2}} ≠0

s = m + τ 1 m + τ 2 v = n + ρ 1 n + ρ 2 | x | 2 {\displaystyle \sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x|^{2}} = 0


标准化后的模拟结果:

相关

  • 莫诺湖莫诺湖(英语:Mono Lake)位于美国加州莫诺县,形成于至少760,000年前。莫诺湖在优胜美地国家公园附近,临近内华达山脉,面积约60平方英里(160平方千米),因地居偏远,少有人知。是北美最古
  • 台南市立安南医院台南市立安南医院,简称安南医院(英语:Tainan Municipal An-Nan Hospital),位于台南市安南区长和路二段66号(原台南市市立仁爱之家)。为台南市政府为照顾北门地区民众就近就医权益BO
  • 吉尔伯特及马绍尔群岛战事东南亚地区: 缅甸:西南太平洋地区:北美地区:日本本土:满洲:在第二次世界大战太平洋战争中,从1943年11月至1944年2月的吉尔伯特和马绍尔群岛战事,是中太平洋战区的美国海军和海军陆战
  • 黄海海战 (1904年)陆战黄海海战(日语:黄海海戦,俄语:Бой в Жёлтом море,1904年8月10日)是日俄战争期间两国第一次正面的海上冲突。1904年2月8日,日本联合舰队的鱼雷艇奇袭驻旅顺口外锚
  • 乌德吉尔乌德吉尔(Udgir),是印度马哈拉施特拉邦Latur县的一个城镇。总人口91908(2001年)。该地2001年总人口91908人,其中男性48109人,女性43799人;0—6岁人口13483人,其中男6871人,女6612人;识
  • 无境之兽《无境之兽》()是一部2015年凯瑞·福永编剧、执导和拍摄的美国战争剧情片,改编自2005年出版的由尼日利亚裔美国籍作家乌佐丁玛·伊维拉(Uzodinma Iweala)所写的同名小说。伊卓瑞
  • 夏尔-玛丽·维多尔夏尔-玛丽·让·艾伯·维多尔(法语:Charles-Marie Jean Albert Widor,1844年2月21日-1937年3月12日)是一名法国管风琴师,作曲家和音乐教育家。维多尔出生于法国里昂,其家庭为管风琴
  • 阿特里雅阿特里雅(天城文:आत्रेय,或译阿提耶)仙人,或阿特里雅·不奈婆修,仙人阿特里(梵语:अत्रिः)的后裔,健驮逻塔克西拉人。他是著名的阿育吠陀学者,他的弟子建立起了六个早期阿育
  • 江学彬江学彬(1917年-2008年),男,江西兴国人,中华人民共和国军事人物,中国人民解放军少将,曾任中国人民解放军海军政治部副主任。
  • 卡卢古马莱卡卢古马莱(Kalugumalai),是印度泰米尔纳德邦Toothukudi县的一个城镇。总人口14834(2001年)。该地2001年总人口14834人,其中男性7295人,女性7539人;0—6岁人口1379人,其中男733人,女64