对称多项式

数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。假设一个元多项式(₁, ₂, ..., )，当其中的个不定元任意交换后，多项式仍维持不变，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的元置换，都有(₍₁₎, ₍₂₎, ..., ₍₎) = (₁, ₂, ..., )，就说是对称多项式。

对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明，任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

以下是两个变数的对称多项式的例子：

以下是三个变数的对称多项式的例子：

并不是所有多项式都是对称的，例如 ${\displaystyle P(X_1,X_2)=X_1-<!--\; -\; -->2X_2}$(₁, …, ) 也可以用前 n 个对称多项式表示，例如

与单项对称多项式以及完全齐次对称多项式不同的是，一个 系数的对称多项式可能无法被表示成 n 个变数的 系数多项式，其中各变数代入次方和多项式 p₁(X₁, …, X_n), …, p_n(X₁, …, X_n)。例如对 n = 2，对称多项式

只能被表达成

然而，如果有 3 个变数的话，情况又变得不同

如果将上式的 X₃ 代入 0，也可以得到一个 2 个变数情况的表示式，然而该表示式中包含多项式 p₃，因此不适用于 2 变数的叙述条件。从上述例子可以看出，不同的变数个数可能会影响到同一个单项对称多项式是否能被次方和对称多项式以整系数的代数组合表达。然而，对于 n ≥ 2，基本对称多项式 e_n 都不能表达成次方和对称多项式的整系数代数组合表达(注意到 n = 1 时 e₁ = p₁)。借由牛顿恒等式可以很容易推得上述结论，并且会有其中若干个系数的分母是 n。因为这个缘故，前述的结论只在任何包含有理数的环中成立，在有限特征的环中不成立。

以下用a表示对称多项式，s表示等幂和：

${\displaystyle \underset{r=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x-<!--\; -\; -->x_r)=\underset{r=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_r{x}^r=0,s_m=\underset{r=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_r^m}$

${\displaystyle s_m+a_1{s}_{m-<!--\; -\; -->1}+a_2{s}_{m-<!--\; -\; -->2}+...+a_{m-<!--\; -\; -->1}{s}_1+m{a}_m=0}$

证明如下：

${\displaystyle {\displaystyle (\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{k}_i{x}_i^r)\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->r}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_{i_1}{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->r}}=\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->r}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^{r+1}{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->r}}+\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->r}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^r{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->r+1}}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->1}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^2{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->1}}+\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_s}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^1{x}_{i_2}...x_{i_s}-<!--\; -\; -->\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->2}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^3{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->2}}-<!--\; -\; -->\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->1}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^2{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->1}}+...}}$

${\displaystyle {\displaystyle (-<!--\; -\; -->1{)}^{s-<!--\; -\; -->1}\underset{i_1}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^s+\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_s}{\sum <!--\; \sum \; -->}{k}_{i_1}{x}_{i_1}^1{x}_{i_2}...x_{i_s}=\underset{r=1}{\overset{s-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^r(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{k}_i{x}_i^r)\underset{i_1\ne <!--\; \ne \; -->i_2\ne <!--\; \ne \; -->...\ne <!--\; \ne \; -->i_{s-<!--\; -\; -->r}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{x}_{i_1}{x}_{i_2}...x_{i_{s-<!--\; -\; -->r}}}}$

两项时使等幂和分解为积与和的组合，如${\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-<!--\; -\; -->2x_1{x}_2}$：

用数学归纳法可证明高维的形式：

取${\displaystyle m=n=3}$

也可以把对称多项式表达成等幂和：

取${\displaystyle m=n=3}$