广义相对论中的开普勒问题

广义相对论中的开普勒问题，是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题。在典型情况下以及本文中，其中一个物体的质量${\displaystyle m}$2 < 2 4的前提下，${\displaystyle {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0}$₂ = 2₃ = −₁的特殊情形，即方程${\displaystyle G(\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})}$ = ₂ = ₄，这个解对应着经典的圆轨道，即上面得到的半径为${\displaystyle r_{outer}}$₂ ≤ −1/12 ≤ ζ ≤ ₃。

当-₃ = 2₂ = 2₁，${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$₃是负值。将重根代换为${\displaystyle e=n^2/3}$₂趋于₁的极限下，模数趋于1，而${\displaystyle w}$₁，这使得轨道方程

对于所有大于₁的${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$值都是正的，并且${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$可以无限制增长，这对应着粒子轨道逐渐向${\displaystyle r=0}$处衰减。

根据广义相对论，两个互相绕转的质量例如双星系统会发出引力辐射，由引力辐射携带的能量会让它们的轨道稍微偏离测地线方程所得到的结果。关于这一问题的最著名间接验证是由拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒对一个脉冲双星PSR B1913+16的观测，两人因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。系统内的两颗中子星距离非常接近，且绕转速度非常之快，测量到的一个周期时长大约仅为465分钟。两颗中子星的轨道是高度椭圆的，偏心率达到0.62。按照广义相对论的预言，这样短的轨道周期和高度的偏心轨道使得这个双星系统成为一个非常好的引力波源，通过引力辐射损失的能量使轨道逐渐衰减，轨道周期逐渐变短。通过长达三十年的实验观测，即使是在可以达到的最精确的测量下轨道周期的降低和广义相对论的预言仍符合得相当好。广义相对论还预言，再过三亿年后这两颗恒星最终会碰撞到一起。

开普勒问题中因引力辐射导致的能量和角动量的损耗公式已经通过计算得到，在一个完整的轨道周期内取平均下的能量变化率为:356-357

这里e是椭圆轨道的偏心率，a是半长轴。方程左边的角括号表示是在一个轨道周期内取平均值。类似的，角动量的平均变化率为

周期减少率${\displaystyle P_b}$为

轨道的偏心率越接近于1，即椭圆轨道形状越瘦长时，能量和角动量的损耗就越快；而半长轴越短轨道的衰减也越快

开普勒运动的轨道方程也可以通过哈密顿-雅可比方程推导出。这种方法的好处是它可以将一个粒子的运动等价于一束波的传播，这就很容易进而通过费马原理推导出光线在引力场中的偏折公式。这种方法的解释是，由于引力场的延时效应，一束波的波前靠近中心质量${\displaystyle m}$的部分要比远离中心质量的部分运动得慢，这就导致了波前传播方向的改变。

使用一般的协变性，一个粒子在任意坐标下的哈密顿-雅可比方程可以表示为:649,1188:328-330

特别地，在史瓦西度规下

这里我们仍然选取了轨道平面位于${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}$的球坐标系。假设哈密顿主函数${\displaystyle S}$是可分离变量的，则其应具有如下形式：

这里${\displaystyle E}$和${\displaystyle L}$分别是粒子的能量和角动量。从哈密顿-雅可比方程可以得到哈密顿主函数径向分量${\displaystyle S_r(r)}$的积分解：

对这个主函数求偏导数：

将满足上面得到的轨道方程

这种方法也可以精致地推导出轨道的进动率。

在质量趋于零（或${\displaystyle a}$趋于无穷大）时，哈密顿主函数简化作下面的形式：

从这个公式可以导出光线在引力场中的偏振公式。

在广义相对论中，无质量粒子在时空中的运动轨迹是测地线，这是等效原理的要求。从最小作用量原理的观点来看，测地线长度的变分为零，即：:263-264

这里${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$是固有时，${\displaystyle s=c\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$是测地线在时空中的弧长。${\displaystyle T}$在这里的定义是

其物理意义类似于经典力学中的动能。如果将时空坐标的四维分量对固有时的导数写成

则${\displaystyle T}$可以写成:708-709

常数因数的引入对变分问题的结果不会造成影响，因此在积分内取变分仍满足哈密顿原理：

从拉格朗日方程可以得到变分问题的解

对变量${\displaystyle t}$和${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$应用，可得到两个守恒量：

进一步可写成${\displaystyle L}$和${\displaystyle E}$的方程：

这也是上面看到的从史瓦西度规直接得到的结果。

只受到引力作用的粒子的作用量为:313ff

其中${\displaystyle q}$是任意能够将粒子的世界线可微化的参数，对这个作用量使用变分法就可以得到测地线方程。不过如果我们对被积函数的平方求变分过程会更简单，根据度规这个平方的形式为

取变分

如果我们只对${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$取变分可得

两边除以${\displaystyle 2c\frac{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{dq}}$就得到了被积函数的变分：

代入哈密顿原理的方程

通过分部积分法

在端点处纬度的变分为零，因此等式右边第一项为零；对于第二项，由于${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$可以任意取值，只有当被积函数的另一部分处处为零时才能保证等式右边为零，因此得到运动方程：

如果我们只对${\displaystyle t}$取变分可得

类似地，两边除以${\displaystyle 2c\frac{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{dq}}$得到被积函数的变分：

根据哈密顿原理

分部积分

得到运动方程

对这两个方程积分并指定积分常数就可以得到上面关于守恒量的方程

对于能量和角动量是常数的系统，这两个方程可以合并为一个并且对光子这样的无质量粒子同样成立，此时沿着所描述的测地线的固有时总为零。