离散对数

✍ dations ◷ 2025-12-04 17:41:43 #同余,二元运算,群论,对数,计算机科学中未解决的问题,有限域

在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。而在实数中对数的定义 log 是指对于给定的和，有一个数，使得 = 。相同地在任何群中可为所有整数定义一个幂数为，而离散对数 log 是指使得 = 的整数。离散对数在一些特殊情况下可以快速计算。然而，通常没有具非常效率的方法来计算它们。公钥密码学中几个重要算法的基础，是假设寻找离散对数的问题解，在仔细选择过的群中，并不存在有效率的求解算法。

当模 $m {\displaystyle m}$ $m$ 有原根时，设 $l {\displaystyle l}$ $l$ 为模 $m {\displaystyle m}$ $m$ 的一个原根，则当 $x\equiv l^{k}{\pmod {m}}$ $x\equiv l^{k}{\pmod {m}}$ 时：

$Ind_{l}x\equiv k{\pmod {\phi (m)}}$ $Ind_{{l}}x\equiv k{\pmod {\phi (m)}}$ ，此处的 $Ind_{l}x$ $Ind_{{l}}x$ 为 $x {\displaystyle x}$ $x$ 以整数 $l {\displaystyle l}$ $l$ 为底，模 $\phi (m)$ $\phi (m)$ 时的离散对数值

离散对数和一般的对数有着相类似的性质：

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