指数积分

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

对于实数，指数积分Ei()可以定义为：

其中${\displaystyle e^t}$，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。

对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

当自变量的实数部分为正时，可以转换为：

Ei与E₁有以下关系：

指数积分可以用以下的收敛级数来表示：

其中${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0.5772156649015328606...}}$)有密切的关系：

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

利用这个函数，我们可以用对数来定义：

以及

指数积分还可以推广为：

它是不完全伽玛函数的一个特例：

这个推广的形式有时成为Misra函数${\displaystyle {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_m(x)}$，定义为：

函数${\displaystyle {\mathrm{E}}_n}$与${\displaystyle {\mathrm{E}}_1}$的导数有以下简单的关系：

然而，这里假设了${\displaystyle n}$是整数；复数${\displaystyle n}$的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2x的图形中，其导函数在任意x值所对应的y值为原函数的0.693倍。

从以下的表示法中

可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：

图中的黑色和红色曲线分别描述了${\displaystyle {\mathrm{E}}_1(x)}$的实数和虚数部分。