内自同构

在抽象代数的群论中，内自同构是群的自同构的一种。设为群的一个元素，则对应的内自同构，是以的共轭作用定义如下

群的一个自同构，如果是的元素的共轭作用，便称为内自同构。

若在的中心Z()内，则${\displaystyle {\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_g}$的中心化子C()。

内自同构${\displaystyle {\mathrm{\iota <!--\; \iota \; -->}}_g}$)是循环群，则Inn()是平凡群。

若Inn()=Aut()且无中心，则称为完备群。

若是完满群且Inn()是单群，则称为拟单群。

群的内自同构组成内自同构群Inn()。内自同构群Inn()与群对其中心Z()的商群/Z()同构。

内自同构群Inn()是的自同构群Aut()中的正规子群，其对应商群记为Out()=Aut()/Inn()，称为外自同构群。

上述关系可以用以下两个短正合列表示：

群的子群是的正规子群，当在的任一内自同构的作用下不变。这时的内自同构限制到上是的自同构（未必是的内自同构），因而有群同态${\displaystyle G\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)}$在中的中心化子C()。

对一般的子群，可取其在中的正规化子N()，则是N()的正规子群，故有群同态${\displaystyle {\mathrm{N}}_G(H)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)}$()。因此N()/C()可以嵌入到Aut()内，即

是单射。