秩 (微分拓扑)

✍ dations ◷ 2025-02-23 19:35:34 #微分拓扑学

数学上，一个可微映射 : → 在一点的秩，是的导函数的秩。映射在点的导数是一个线性映射

从点的切空间到点()的切空间。因为是向量空间之间的线性映射，故其秩有明确定义，即是₍₎的像的维数：

可微映射 : → 称为有常秩，落的秩在中每一点都相同。常秩映射有一些很好的性质，是微分拓扑中的重要概念。

有三类特别的常秩映射：一个常秩映射 : → 是

以上的条件只牵涉到的导函数的性质，不要求映射是单射、满射或双射。例如有一些映射是单射却非浸入，或是浸入却非单射。不过若 : → 是常秩光滑映射，则

常秩映射可以用局部座标系得出一个好的描述。设和是光滑流形，维数分别为和，映射 : → 是光滑映射，并有常秩。那么对中每一点，都存在以为中心的局部座标(1, ..., )，及以()为中心的局部座标(1, ..., )，使得用这些座标可以表示为：

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