秩 (微分拓扑)

✍ dations ◷ 2025-08-25 21:14:30 #微分拓扑学

数学上,一个可微映射 : → 在一点的秩,是的导函数的秩。映射在点的导数是一个线性映射

从点的切空间到点()的切空间。因为是向量空间之间的线性映射,故其秩有明确定义,即是()的像的维数:

可微映射 : → 称为有常秩,落的秩在中每一点都相同。常秩映射有一些很好的性质,是微分拓扑中的重要概念。

有三类特别的常秩映射:一个常秩映射 : → 是

以上的条件只牵涉到的导函数的性质,不要求映射是单射、满射或双射。例如有一些映射是单射却非浸入,或是浸入却非单射。不过若 : → 是常秩光滑映射,则

常秩映射可以用局部座标系得出一个好的描述。设和是光滑流形,维数分别为和,映射 : → 是光滑映射,并有常秩。那么对中每一点,都存在以为中心的局部座标(1, ..., ),及以()为中心的局部座标(1, ..., ),使得用这些座标可以表示为:

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