外接圆

✍ dations ◷ 2025-09-06 11:23:50 #外接圆
在数学中,一个二维平面上的多边形的外接圆是一个使得该多边形的所有顶点都在其上的圆形,这时称这个多边形为圆内接多边形,外接圆的圆心被称为该多边形的外心。一个多边形至多有一个外接圆,也就是说对于一个多边形,它的外接圆,如果存在的话,是唯一的。并非所有的多边形都有外接圆。三角形和正多边形一定有外接圆。拥有外接圆的四边形被称为圆内接四边形。任何三角形都有外接圆。三角形外心的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点上,到三个顶点的距离都相等(等于外接圆的半径),而且:若以R表示三角形外接圆半径,那么根据正弦定理, a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {displaystyle {frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}=2R} 。 若以"S"表示三角形面积,由于 S = 1 2 a b sin ⁡ C {displaystyle S={frac {1}{2}}absin C} ,整理得到 R = a b c 4 S {displaystyle R={frac {abc}{4S}}} 。过三点圆的方程为 | x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0 {displaystyle {begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}=0} ,故三角形外心坐标为 ( | x 1 2 + y 1 2 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 y 3 1 | 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | , | x 1 x 1 2 + y 1 2 1 x 2 x 2 2 + y 2 2 1 x 3 x 3 2 + y 3 2 1 | 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | ) {displaystyle ({frac {begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1end{vmatrix}}{2{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}}},{frac {begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1end{vmatrix}}{2{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}}})}圆内接四边形对角互补,其面积A可以用婆罗摩笈多公式求得: A = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {displaystyle A={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} ,其中a, b, c, d为四边的长度,s为半周长。其外接圆半径为: R = ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( a b + c d ) 4 A {displaystyle R={frac {sqrt {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}}{4A}}} 。边长相等的四边形中,以圆内接四边形最大。所有的正多边形都有外接圆,外接圆的圆心和正多边形的中心重合。边长为a的n边正多边形外接圆的半径为:面积为:正n 边形的面积 S n {displaystyle S_{n}} 与其外接圆的面积 A n {displaystyle A_{n}} 之比为故此,当n趋向无穷时,另外,其内切圆的面积 s n {displaystyle s_{n}} 与其外接圆的面积 A n {displaystyle A_{n}} 之比为:

相关

  • 岱喃字陶文 ‧ 甲骨文 ‧ 金文 ‧ 古文 ‧ 石鼓文籀文 ‧ 鸟虫书 ‧ 篆书(大篆 ‧  小篆)隶书 ‧ 楷书 ‧ 行书 ‧ 草书漆书 ‧  书法 ‧ 飞白书笔画 ‧ 
  • 吴一戎吴一戎(1963年7月-),中国信号与信息处理学家。中国科学院电子学研究所研究员、博士生导师。生于北京,原籍安徽。1985、1988年先后在北京理工大学获学士和硕士学位,2001年在中国科
  • 南德意志报《南德意志报》(德语:Süddeutsche Zeitung,读作.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode","Code2
  • 745–746Template:Congenital malformations and deformations of nervous system Template:Congenital malformations and deformations of eye Template:Congenital malformations
  • 2-甲基-2-戊醇2-甲基-2-戊醇(英语:2-Methyl-2-pentanol,IUPAC名:2-methylpentan-2-ol)是一种叔醇类的有机化合物,可以作为气相色谱的添加剂来分离支链化合物。尿液中出现的2-甲基-2-戊醇可作为2
  • CHsub3/subCOONa乙酸钠(英语:Sodium acetate,化学式:CH3COONa),又名醋酸钠,晶体有无水和三水合物两种形式。无水醋酸钠(CH3COONa)为白色或灰白色的粉末,比重1.528,熔点324℃,溶于水,难溶于有机溶剂,水溶液
  • 美丽诺羊美丽诺绵羊(Merino),一种优秀的绵羊品种,是细毛羊的主要品种。以澳大利亚的最为著名,由英国军官约翰·麦克阿瑟(英语:John Macarthur (wool pioneer))引进,但初次培育并不在澳大利亚,
  • 食胎盘行为食胎盘行为(英语:Placentophagy)是一种哺乳动物在自己的幼仔出生后吃掉胎盘的行为。食胎盘行为在包括食草动物在内的有胎盘类动物中是一个普遍现象。其中仅有少量物种没有这种
  • 女足世界杯国际足联女子世界杯(FIFA Women's World Cup)被视为女子足球最高荣誉的赛事。由国际足联(FIFA)主办,各国的女子国家足球队参加的比赛。首届女足世界杯于1991年在中国广州举行,由美
  • 孟尼利克二世孟尼利克二世(Menelek II of Ethiopia,1844年8月17日-1913年12月12日),另有译曼涅里克二世、米尼力克二世,绍阿国王、埃塞俄比亚皇帝(1889年—1913年)。埃塞俄比亚历史上最伟大的统