电势能

在静电学里，电势能（Electric potential energy）是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。电势能的单位是焦耳。电势能与电势不同。电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷。电势的单位是伏特。

电势能的数值不具有绝对意义，只具有相对意义。所以，必须先设定一个电势能为零的参考系统。当物理系统内的每一个点电荷都互相分开很远（分开距离为无穷远），都相对静止不动时，这物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。:§25-1假设一个物理系统里的每一个点电荷，从无穷远缓慢地被迁移到其所在位置，总共所做的机械功为 ${\displaystyle W}$ ，则这物理系统的电势能 ${\displaystyle U}$ 为

在这过程里，所涉及的机械功 ${\displaystyle W}$ ，不论是正值或负值，都是由这物理系统之外的机制赋予，并且，缓慢地被迁移的每一个点电荷，都不会获得任何动能。

如此计算电势能，并没有考虑到移动的路径，这是因为电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。

在一个物理系统内，计算一个点电荷所具有的电势能的方法，就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而这计算只需要两项资料：

注意到这计算不需要知道其它电荷的电荷量，也不需要知道这点电荷Q所产生的电势。

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 ${\displaystyle q_1}$ 的位置为坐标系的原点 ${\displaystyle \mathbf{O}}$ ，则根据库仑定律，点电荷 ${\displaystyle q_1}$ 施加于位置为 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的第二个点电荷 ${\displaystyle q_2}$ 的电场力为

其中，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$ 是电常数。

在迁移点电荷 ${\displaystyle q_2}$ 时，为了要抗拒电场力，外机制必需施加作用力 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->{\mathbf{F}}_c}$ 于点电荷 ${\displaystyle q_2}$ 。所以，机械功 ${\displaystyle W}$ 为

由于库仑力为保守力，机械功与积分路径 ${\displaystyle \mathbb{L}}$ 无关，所以，可以选择任意一条积分路径。在这里，最简单的路径为从无穷远位置朝着 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}}$ 方向迁移至 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 位置的直线路径。那么，机械功为

这机械功是无穷远位置与 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 位置之间的静电能差别：

设定 ${\displaystyle U(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=0}$ ，则

现在，假设两个点电荷的位置分别为 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_1}$ 、${\displaystyle {\mathbf{r}}_2}$ ，则电势能为

其中，${\displaystyle r_{12}=|{\mathbf{r}}_2-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_1|}$ 是两个点电荷之间的距离。

假设两个点电荷的正负性相异，则电势能为负值，两个点电荷会互相吸引；否则，电势能为正值，两个点电荷会互相排斥。

对于三个点电荷的系统，外机制将其每一个单独点电荷，一个接着一个，从无穷远位置迁移至最终位置，所需要做的机械功，就是整个系统的静势能。以方程表示，

其中，${\displaystyle q_1,q_2,q_3}$ 为点电荷，${\displaystyle r_{ij}}$ 为第i个与第j个点电荷之间的距离。

按照这方法演算，对于多个点电荷的系统，按照顺序，从第一个点电荷到最后一个点电荷，各自缓慢迁移到最后对应位置。在第 ${\displaystyle i}$ 个点电荷 ${\displaystyle q_i}$ 迁移时，只会感受到从第 ${\displaystyle 1}$ 个点电荷到第 ${\displaystyle i-<!--\; -\; -->1}$ 个点电荷的电场力，而机械功 ${\displaystyle W_i}$ 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献：

所有点电荷做出的总机械功（即总电势能）为

将每一个项目重复多计算一次，然后将总合除以 ${\displaystyle 2}$ ，这公式也可以表达为，

这样，可以忽略点电荷的迁移顺序。

注意到除了点电荷 ${\displaystyle q_i}$ 以外，所有其它点电荷产生的电势在位置 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ 为

所以，离散点电荷系统的总电势能为

对于连续电荷分布，前面的电势能方程变为

其中，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(\mathbf{r})}$ 是在源位置 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的电荷密度，${\displaystyle \mathbb{V}}$ 是积分体积。

应用高斯定律

其中，${\displaystyle \mathbf{E}}$ 是电场。

电势能为

应用散度定理，可以得到

其中，${\displaystyle \mathbb{S}}$ 是包住积分体积 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 的闭曲面。

当积分体积 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 趋向于无限大时，闭曲面 ${\displaystyle \mathbb{S}}$ 的面积趋向于以变率 ${\displaystyle r^2}$ 递增，而电场、电势分别趋向于以变率 ${\displaystyle 1/r^2}$ 、${\displaystyle 1/r}$ 递减，所以，上述方程右手边第一个面积分项目趋向于零，电势能变为

电场与电势的微分关系为

将这方程代入，电势能变为

所以，电势能密度 ${\displaystyle u}$ 为

前面分别推导出两个电势能方程：

注意到第一个方程计算得到的电势能，可以是正值，也可以是负值；但从第一个方程推导出来的第二个方程，其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题？原因是第一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能；而第二个方程在推导过程中，无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程时，在位置 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ 的电势乃是，除了 ${\displaystyle q_i}$ 以外，所有其它电荷共同贡献出的电势；而在推导第二个方程时，电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。

举一个双点电荷案例，假设电荷 ${\displaystyle q_1}$ 、${\displaystyle q_2}$ 的位置分别为 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_1}$ 、${\displaystyle {\mathbf{r}}_2}$ ，则在任意位置 ${\displaystyle \mathbf{r}}$ 的电场为

其电势能密度为

很明显地，这方程右手边的前两个项目分别为电荷 ${\displaystyle q_1}$ 、${\displaystyle q_2}$ 的自身能密度 ${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0{E}_1{}^2/2}$ 、${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0{E}_2{}^2/2}$ 。最后一个项目是否为相互作用能密度？为了回答这有意思的问题，继续计算相互作用能密度的体积积分：

应用一条矢量恒等式，

可以得到

应用散度定理，可以将这方程右手边第一个项目，从体积积分变为面积积分：

其中，${\displaystyle \mathbb{S}}$ 是包住积分体积 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 的闭曲面。

假设 ${\displaystyle \mathbb{V}}$ 趋向于无穷大空间，则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的矢量恒等式

可以得到

这正是双点电荷系统的电势能。