克纳斯特-塔斯基定理

✍ dations ◷ 2025-07-30 14:47:54 #序理论,不动点,数学定理

在数学领域序理论和格理论中,Knaster–Tarski 定理,得名于 Bronisław Knaster 和阿尔弗雷德·塔斯基,它声称:

这个定理的一种逆命题由 Anne C. Davis 证明了: 如果所有次序保持函数 有不动点,则 是完全格。

因为完全格不能是空的,这个定义特别保证 的至少一个不动点的存在,甚至一个“最小”(或“最大”)不动点的存在。在很多实际情况中,这是这个定理最重要的蕴涵。

的最小不动点是最小元素 使得 () = ,或者等价的说,使得 () ≤ ;最大不动点的对偶命题成立,它是最大的元素 使得 () = 。

如果对于 L 的元素的递升序列的所有 有 (lim )=lim (),则 的最小不动点是 lim (0),这里的 0 是 L 的最小元素,因此给出了这个定理的更有“建设性”的一个版本。更一般的说,如果 是单调函数,则 的最小不动点是 α(0) 的固定极限,选取 α 于序数上,这里的 α 使用超限归纳法定义: α+1 = ( α) 而 γ 对于极限序数 γ 是 β 对于所有小于 γ 的序数 β 的最小上界。最大不动点的对偶定理成立。

例如,在理论计算机科学中,单调函数的最小不动点被用来定义程序语义。使用这个定理的一个更专门的版本,这里的 被坚定为是特定集合的所有子集在集合包含次序下格。这反映了在很多应用中只使用这种格的事实。人们经常查找有是函数 的不动点的这种性质的最小集合。抽象释义充分利用了 Knaster–Tarski 定理并公式给出了最小和最大不动点。

Knaster–Tarski 定理可以用于康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的一个简单证明。

这个定理(对于集合的格)的一个特殊情况出现在 Bronislaw Knaster 的论文中:

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