法拉第感应定律

法拉第电磁感应定律（英语：Faraday's law of electromagnetic induction）是电磁学中的一条基本定律，跟变压器、电感元件及多种发电机的运作有密切关系。定律指出：此定律于1831年由迈克尔·法拉第发现，约瑟·亨利则是在1830年的独立研究中比法拉第早发现这一定律，但其并未发表此发现。故这个定律被命名为法拉第定律。本定律可用以下的公式表达：其中：电动势的方向（公式中的负号）由楞次定律提供。“通过电路的磁通量”的意义会由下面的例子阐述。传统上有两种改变通过电路的磁通量的方式。至于感应电动势时，改变的是自身的电场，例如改变生成场的电流（就像变压器那样）。而至于动生电动势时，改变的是磁场中的整个或部分电路的运动，例如像在同极发电机中那样。电磁感应现象不应与静电感应混淆。电磁感应将电动势与通过电路的磁通量联系起来，而静电感应则是使用另一带电荷的物体使物体产生电荷的方法。本节是一段题外话，作用是区分本条目中的“法拉第定律”及麦克斯韦方程组中用同一个名字的∇×E方程。于本条目中∇×E方程会被称为麦克斯韦-法拉第方程。麦克斯韦于1855年总结出法拉第定律的旋度版本，而亥维赛则于1884年将定律重写成旋度方程：其中方程的意义是，如果电场的空间依赖在页面上成逆时针方向（经右手定律，得旋度矢量会从页面指出），那么磁场会因时间而更少指出页面，更多地指向页面（跟旋度矢量异号）。方程跟磁场的变量有关系。故磁场不一定要指向页面，只需向该方向转动即可。本方程（在本条目中被称为麦克斯韦-法拉第方程）最著名的地方在于它是麦克斯韦方程组中的四条方程之一。在麦克斯韦-法拉第方程中，亥维赛用的是时间偏导数。不使用麦克斯韦用过的时间全导数，而使用时间偏导数，这样做使得麦克斯韦-法拉第方程不能说明动生电动势。。然而，麦克斯韦-法拉第方程很多时候会被直接称为“法拉第定律”。在本条目中“法拉第定律”一词指的是通量方程，而“麦克斯韦-法拉第方程”指的则是亥维赛的旋度方程，也就是现在的麦克斯韦方程组中的那一条。法拉第电磁感应定律用到通过一表面Σ的磁通量ΦB，其积分形式定义如下：其中dA为移动面Σ(t)的面积元，B为磁场，B·dA为矢量点积。见图一。更多细节见面积分及磁通量条目。设该表面有一个开口，边界为闭合曲线∂Σ(t)。见图二。当通量改变时，把一电荷在闭合曲线中∂Σ(t)移一圈（每单位电荷）所做的功 E {displaystyle ^{mathcal {E}}} ，也就是电动势，可由法拉第电磁感应定律求得：其中：设有一紧缠线圈，圈数为N，每圈通量皆为ΦB，法拉第电磁感应定律指出：在选择路径∂Σ(t)求电动势时，路径须满足两个基本条件：（一）路径闭合；（二）路径必需能描述到电路各部分的相对运动（这就是∂Σ(t)中变量为时间的原因）。路径并不一定要跟随电流的流动路线，但用通量定律求出的电动势，理所当然地会是通过所选路径的电动势。假若路径并不跟随电流的话，那么那电动势可能不是驱动着电流的那一电动势。考虑图三的长方形线圈，它在xy平面上向x方向以速率v移动。因此，线圈中心xC满足v = dxC/dt。线圈在y方向的长度为ℓ，x方向的宽度为w。一不随时间改变，而随x方向改变的磁场B(x)指向z方向。左边的磁场为B(xC − w/2)，右边的磁场为B(xC + w/2)。电动势可直接求得，或由上述的法拉第电磁感应定律求得。在线圈左边的一电荷q，所受的洛伦兹力为qv×Bk = −qvB(xC − w/2)j（j、k分别为y方向及z方向的单位矢量，见矢量积），因此左边整段电线的电动势（单位电荷所做的功）为vℓB(xC − w/2)。可用相同的论述，求出右边电线的电动势为vℓB(xC + w/2)。两股电动势互相抵抗，将正电荷推向线圈底部。由于这时磁场的强度会向x方向增强，所以右边的力最强，电流会顺时针流动：使用右手定则，电流所产生的磁场会抵抗外加的磁场。驱动电流的电动势必须向逆时针方向增加（抵抗电流）。把电动势向逆时针方向加起来得：线圈上任何位置通过线圈的磁通量为其正负取决于表面的垂直线是否跟B同一方向，或相反方同。如果表面垂直线跟感应电流的B同一方向，式子为负。此时通量的时间导数（使用微分的链式法则或莱布尼茨定则的通用形式求出）为：（其中v = dxC/dt为线圈于x方向的运动速率），所以跟之前一样。这两种方法一般来说都一样，但视乎例子而定，其中一种有时可能会比较实用。图四为由上下两块带导电边沿的碟片所组成的转轴，上面的电线环路垂直地连接着两块碟片。整组装置在磁场中旋转，该磁场向外呈放射状指出，但其大小不随方向变化。一向外的回路从边沿上把电流收集起来。在收集回路的位置上，向外的磁场与回路位于同一个平面上，因此收电回路并不对电路的磁通量造成影响。电动势可直接求出，或使用上文的法拉第定律求出。这个案中，在移动环路中那两根垂直的电线里，洛伦兹力向下驱动着电流，因此电流从上碟片流向下碟片。在碟片的导电边沿内，洛伦兹力与边沿垂直，所以边沿上并没有电动势，环路中的水平部分也没有。电流通过外加的回路从下边沿传到上边沿，而该回路位于磁场的平面上。因此，回路中的洛伦兹力与回路平行，在这回路中并没有生成电动势。穿过电流通道，到达电流反方向流动的地方，功只在移动环路垂直电线中抵抗洛伦兹力，其中因此电动势为其中ℓ为环路中的垂直长度，与角转动率相关的速度可由v = r ω求出，而r = 碟片半径。注意，在任何跟环路转动并连接上下边沿的路径中，所做的功都一样。一个直觉上很吸引但错误的通量定则使用法是，将通过电流的通量当成只是ΦB = Bwℓ，其中w为移动环路的宽度。这数目与时间没有关系，所以这方法会不正确地预测出无生成电动势。这套论述的缺陷在于它并没有考虑到整个电路，而整个电路是闭合的环路。使用通量定则时，我们必须顾及整个电路，其中包括通过上下碟片边沿的路径。我们可以选择一通过两道边沿及移动环路的任意闭合路径，而通量定则会找出该路径的电动势。任何有一部分连接移动环路的路径，都会表达到电路移动部分的相对运动。作为一个路径例子，选择在上碟片按照转动方向，并下碟片按照转动反方向穿过电路（由图四的箭号表示）。在这情况下，对与回路成角θ的移动环路而言，圆柱体的一部分面积A = rℓθ为电路的一部分。这面积与磁场垂直，所以造成了这个大小的通量：其中式子为负，这是因为右手定则指出，电流环路所产生的磁场，与外加的磁场方向相反的缘故。由于这是通量中唯一一个跟随时间转变的部分，所以通量定则预测的电动势为与使用洛伦兹力法的计算答案一致。现在尝试不同的路径。跟随一条选择余下部分通过边沿的路径。那么耦合磁通量会随θ增加而减少，但右手定则会指出把电流环路加到外加磁场上去，因此这条路径跟第一条路径的电动势相同。任何回路的组合都会对电动势产生相同的结果，因此跟随哪一条路径实际上并不重要。以上使用闭合路径求电动势的方法，看起来是取决于路径几何的细节。相反地，使用洛伦兹力则没有这样的限制。所以有需要加深对通量定则的理解，有关路径等同及路径选取时的会漏掉的细节。图五是图四的理想化版本，当中圆柱体被展开成了平面。同样的路径分析依然有效，但是还有一个可以简化的地方。电路中与时间无关的方面，并不能够影响通量随时间的变化率。例如，环路以均速滑动时，电流通过环路流动的细节，并不取决于时间。与其考虑求电动势时环路选取的细节，不如考虑环路移动时所扫过的磁场面积。这相当于找出电路通量的切断率。这个说法提供了一个方法，可直接求出通量变化率，而不需要考虑电路上各种路径选取，随时间而变化的细节。跟使用洛伦兹力一样，很明显地，任何两条连接移动环路的路径，都会产生相同的通量变化率，不同之处只在于它们如何与环路相交。图五中，单位时间内扫过的面积为dA/dt = vℓ，跟选取的环路细节无关，所以可经法拉第电磁感应定律求出电动势：电路势的路径的不依赖性表明，如果滑动环路被实心导电板所取代，又或是更复杂的某种变形表面，分析都是一样的：找出电路移动部分扫过面积的通量。相近地，如果图四的移动环路被一360°的实心导电圆柱体所取代，扫过面积的计算就跟只有一个环路时是完全一样的。故此，对圆柱体及实心导电板的个案而言，法拉第定律所预测的电动势完全一样，更甚者，以有孔板为壁的圆柱体的个案也一样。但是注意，这个电动势所导致的流动电流是不一样的，因为电阻决定电流。变化中的磁场会生成电场；这个现象由麦克斯韦-法拉第方程描述：其中：这条方程是现代麦克斯韦方程组内的其中一条，很多时候被称为法拉第定律。然而，由于它只含有一个时间偏导数，它的应用只限于在随时间变化的磁场中静止电荷的情况。它并不能说明带电粒子在磁场中移动的电磁感应状况。它可以用开尔文-斯托克斯定理写成积分形式：其中把导数移至积分前这个动作，需要一与时无关的曲面Σ（在这里被视为偏导数解释的一部分），见图六：dℓ和dA都具有正负模糊性；要得到正确的正负号，需要使用右手定则，解释详见开尔文-斯托克斯定理条目。对一平面Σ而言，曲线∂Σ的正路径元dℓ，其定义由右手定则所规定，就是当右手姆指跟表面Σ的垂直线n同一方向时，其他手指所指的那一个方向。围绕着∂Σ的积分叫曲线积分或路径积分。麦克斯韦-法拉第方程右边的曲面积分，是通过Σ的磁通量ΦB的明确表达式。注意E的非零路径积分，跟电荷产生电场的表现不一样。由电荷生成的电场能以标量场的梯度表达，为泊松方程的解，并且路径积分为零。见梯度定理。积分方程对通过空间的任何路径∂Σ成立，也对任何以该路径为边界的的表面Σ成立。注意，但是已知在这方程里，∂Σ及Σ都不随时间而改变。这个积分形式不能用于运动电动势，因为Σ跟时间无关。注意这方程内并没有电动势 E {displaystyle ^{mathcal {E}}} ，所以确实不能够在不引入洛伦兹力的情况下计算出功。使用完整的洛伦兹力计算电动势：法拉第电磁感应定律的一个描述，比麦克斯韦-法拉第方程的积分形式更通用（见洛伦兹力），如下：其中∂Σ(t)为围着运动表面Σ(t)的闭合路径，而v为运动速率。见图二。注意上面用的是时间常导数，而不是时间偏导数，意指Σ(t)的时间差异必须被微分所包括。被积函数中，曲线dℓ的元以速率v移动。图七为磁力是如何促成电动势作出了诠释，而电动势就在上面方程的左边。曲线∂Σ部分dℓ，在时间dt以速率v移动时扫过的面积为（见矢量积的几何意义）：所以在时间dt间通过∂Σ为边的表面中这一部分的磁通量变量ΔΦB为：如果我们把这些通过所有部分dℓ的ΔΦB的作用加在一起，就可以得到法拉第定律对磁力的促成作用。也就是，这个项跟运动电动势有关系。再次讨论图三的例子，但这次以移动观测者的参考系，带出电场与磁场间以及运动与感应电动势的密切关系。假设一环路观测者与环路一起移动。观测者以洛伦兹力及法拉第电磁感应定律计算环路的电动势。由于这观测者与环路一起移动，观测者看不到环路的运动，以及零v×B。然而，由于磁场随x位置变化，所以观测者看到时间变强的磁场，也就是：其中k为指向z方向的单位矢量。麦克斯韦-法拉第方程指出移动观测者在y方向所见的电场Ey可由下式表示（见旋度）：下式使用了链式法则：求解Ey，准确到一个对环路积分没有作用的常数，得：使用洛伦兹力定律，得一个电场分量，观测者于时间t得环路的电动势为：这个结果跟静止观测者的个案一致，他看到的是中点xC移到xC + vt。然而，移动观测者的结果中，洛伦兹力看起来只有电分量，而静止观测者的则只有磁分量。使用法拉第电磁感应定律，与xC一起移动的观测者看到磁通量的变化，但环路看起来并没有移动：环路的中心xC被固定了，这是因为观测者与环路一起移动着。通量则是：其中右式为负，这是因为表面的垂直线与外加磁场各自指向相反的方向。现在从法拉第电磁感应定律得出的电动势是：答案是一样的。时间导数走进了积分里面，这是因为积分的上下限并不取决于时间。又一次，链式定律被用于把时间导数转化成x导数。静止观测者认为该电动势是运动电动势，而移动观测者则认为是感应电动势。有些物理学家注意到法拉第定律是一条描述两种现象的方程：由磁力在移动中的电线中产生的动生电动势，及由磁场转变而成的电力所产生的感应电动势。就像理查德·费曼指出的那样：格里夫斯的书中也有类似陈述。法拉第定律最初是一条基于观察的实验定律。后来被正式化，其偏导数的限制版本，跟其他的电磁学定律一块被列麦克斯韦方程组的现代亥维赛版本。法拉第电磁感应定律是基于法拉第于1831年所作的实验。这个效应被约瑟·亨利于大约同时发现，但法拉第的发表时间较早。见麦克斯韦讨论电动势的原著。于1834年由波罗的海德国科学家海因里希·楞次发现的楞次定律，提供了感应电动势的方向，及生成感应电动势的电流方向。由法拉第电磁感应定律因电路及磁场的相对运动所造成的电动势，是发电机背后的根本现象。当永久性磁铁相对于一导电体运动时（反之亦然），就会产生电动势。如果电线这时连着电负载的话，电流就会流动，并因此产生电能，把机械运动的能量转变成电能。例如，基于图四的鼓轮发电机。另一种实现这种构想的发电机就是法拉第碟片，简化版本见图八。注意使用图五的分析，或直接用洛伦兹力定律，都能得出使用实心导电碟片运作不变的这一结果。在法拉第碟片这一例子中，碟片在与碟片垂直的均匀磁场中运动，导致一电流因洛伦兹力流到向外的轴臂里。明白机械运动是如何成为驱动电流的必需品，是很有趣的一件事。当生成的电流通过导电的边沿时，这电流会经由安培环路定理生成出一磁场（图八中标示为“Induced B”）。因此边沿成了抵抗转动的电磁铁（楞次定律一例）。在图的右边，经转动中轴臂返回的电流，通过右边沿到达底部的电刷。此一返回电流所感应的磁场会抵抗外加的磁场，它有减少通过电路那边通量的倾向，以此增加旋转带来的通量。因此在图的左边，经转动中轴臂返回的电流，通过左边沿到达底部的电刷。感应磁场会增加电路这边的通量，减少旋转带来的通量。所以，电路两边都生成出抵抗转动的电动势。尽管有反作用力，需要保持碟片转动的能量，正等于所产生的电能（加上由于摩擦、焦耳热及其他消耗所浪费的能量）。所有把机械能转化成电能的发电机都会有这种特性。虽然法拉第定律经常描述发电机的运作原理，但是运作的机理可以随个案而变。当磁铁绕着静止的导电体旋转时，变化中的磁场生成电场，就像麦克斯韦-法拉第方程描述的那样，而电场就会通过电线推着电荷行进。这个案叫感应电动势。另一方面，当磁铁静止，而导电体运动时，运动中的电荷的受到一股磁力（像洛伦兹力定律所描述的那样），而这磁力会通过电线推着电荷行进。这个案叫动生电动势。（更多有关感应电动势、动生电动势、法拉第定律及洛伦兹力的细节，可见上例或格里夫斯一书。）发电机可以“反过来”运作，成为电动机。例如，用法拉第碟片这例子，设一直流电流由电压驱动，通过导电轴臂。然后由洛伦兹力定律可知，行进中的电荷受到磁场B的力，而这股力会按佛来明左手定则订下的方向来转动碟片。在没有不可逆效应（如摩擦或焦耳热）的情况下，碟片的转动速率必需使得dΦB/dt等于驱动电流的电压。法拉第定律所预测的电动势，同时也是变压器的运作原理。当线圈中的电流转变时，转变中的电流生成一转变中的磁场。在磁场作用范围中的第二条电线，会感受到磁场的转变，于是自身的耦合磁通量也会转变（dΦB/dt）。因此，第二个线圈内会有电动势，这电动势被称为感应电动势或变压器电动势。如果线圈的两端是连接着一个电负载的话，电流就会流动。法拉第定律可被用于量度导电液体或浆状物的流动。这样一个仪器被称为电磁流量计。在磁场B中因导电液以速率为v的速度移动，所生成的感应电压ε可由以下公式求出：其中ℓ为电磁流量计中电极间的距离。有关法拉第定律一词各种用法的讨论： Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law （英文）