德鲁德模型

电传导的德鲁德模型在1900年 由保罗·德鲁德提出，以解释电子在物质（特别是金属）中的输运性质。这个模型是分子运动论的一个应用，假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理，很像一个弹珠台，其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程：以及电流密度 J {displaystyle J} 与电场 E {displaystyle E} 之间的线性关系：在这里， t {displaystyle t} 代表时间， p {displaystyle p} 、 q {displaystyle q} 、 n {displaystyle n} 、 m {displaystyle m} 和 τ {displaystyle tau } 分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量，以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要，因为它用半定量的术语解释了为什么欧姆定律，电磁学中最普遍存在的一个关系，应该是正确的。德鲁德模型最简单的分析，假设了电场 E {displaystyle mathbf {E} } 既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量 d p {displaystyle dmathbf {p} } ，这平均每隔 τ {displaystyle tau } 秒发生一次。于是，在时间 t {displaystyle t} 分离的电子自从它上一次碰撞将平均运动了 τ {displaystyle tau } 秒，因此将积累了动量：在它上一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式：代入以下关系：便得出上面提到的欧姆定律的表述：电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间 t = t 0 + d t {displaystyle t=t_{0}+dt} ，电子的平均动量将为：由于平均来说， ( 1 − d t / τ ) {displaystyle (1-dt/tau )} 个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。经过一番计算，便得出以下的微分方程：其中 ⟨ p ⟩ {displaystyle langle mathbf {p} rangle } 表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：于是，稳态解（ d d t ⟨ p ⟩ = 0 {displaystyle {frac {d}{dt}}langle mathbf {p} rangle =0} ）为：像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为 σ 0 {displaystyle ,sigma _{0}} ：德鲁德模型还可以预言在角频率为 ω {displaystyle ,omega } 的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：这里假设了还存在另一种惯例，所有方程中的 i {displaystyle ,i} 都用 − i {displaystyle ,-i} 来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间 τ {displaystyle ,tau } 来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。