拉回丛

数学上，拉回丛（pullback bundle）或导出丛（induced bundle）是纤维丛理论中的常见构造。令 π : → 为以为纤维的纤维丛，并令 : ′ → 为任意连续映射。则，自然地诱导出一个纤维丛 π′ : * → ′，它也以为纤维。大致来讲，只需要说在点的纤维是在点()的纤维就可以了；然后用不交并将所有纤维合起来。

如果要更形式化一些，可以定义

投影映射π′ : * → ′由下式给出

到第二个因子的投影给出了一个映射${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}:<!--\; :\; -->f^{\ast <!--\; \ast \; -->}E\to <!--\; \to \; -->E}$, φ)为一的局部平凡化，则(−1, ψ)是*的局部平凡化，其中

然后，*就是′上以为纤维的纤维丛了。*称为拉回丛或由诱导的丛。映射${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}}$的丛的一个态射。

若丛 → 有结构群 ，其变换函数为，则拉回丛*也有结构群。*中的变换函数为

若 → 是向量丛或主丛则拉回丛*也是同类的丛。在主丛的情况，在*上的作用为

因此，映射${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}}$是右等变的，并定义了一个主丛间的态射。

用范畴论的语言，拉回丛的构造是更一般的范畴拉回的一个例子。因此，它满足相应的泛性质。

丛的拉回是很直接的，所以丛是本质上逆变的。与此形成对比的是，一个层是本质上协变的：其直接的构造是层的直接像。虽然每个丛都有一个截面的层，其变化是相反的。这个分歧在很多领域是一个好处。但是必须注意层的直接像相对于丛而言没有一个闭属性。取层的直接像经常可能导致产生一个不是'丛的截面'类型的新层。

因此，丛的前推的概念虽然不是没有，而且实际上很重要，但这个概念产生的对象可能在一般情况下不是丛。