量子电动力学

在粒子物理学中，量子电动力学（英语：Quantum Electrodynamics，简称QED）是电动力学的相对论性量子场论。它在本质上描述了光与物质间的相互作用，而且它还是第一套同时完全符合量子力学及狭义相对论的理论。量子电动力学在数学上描述了所有由带电荷粒子经交换光子产生的相互作用所引起的现象，同时亦代表了经典电动力学所对应的量子理论，为物质与光的相互作用提供了完整的科学论述。

用术语来说，量子电动力学就是电磁量子真空态的摄动理论。它的其中一个创始人，理查德·费曼把它誉为“物理学的瑰宝”("the jewel of physics")，原因是它能为相关的物理量提供极度精确的预测值（英语：Precision tests of QED），例如电子的异常磁矩及氢原子能级的兰姆位移:Ch1。

辐射与物质间相互作用的第一套量子理论，是由英国物理学家保罗·狄拉克提出的，他在1920年代就成功计算出原子的自发发射系数。

狄拉克用一整组的谐振子，加上新开发的粒子创生及消灭算符，成功地描述了电磁场的量子化。在之后的几年，沃尔夫冈·泡利、尤金·维格纳、帕斯库尔·约当、维尔纳·海森堡都在这方面作出了贡献，还有恩里科·费米更提出了一套优雅的量子电动力学表述，至此物理学家开始相信，原则上他们可以计算出所有涉及光子及带电粒子的物理过程。然而，费利克斯·布洛赫和阿诺德·诺德西克（Arnold Nordsieck），与维克托·魏斯科普夫于1937年及1939年的后续研究发现，这样的计算只能在一阶摄动理论上获得可靠结果，而这个问题罗伯特·奥本海默早在1930年已经指出了。在高阶时，数列中出现无限，使得计算完全没有意义，因此物理学家相当怀疑这套理论是否真的具有一致性。而当时对此并无答案，这个问题的产生，似乎是因为狭义相对论与量子理论在基础上并不相容。

这套理论的难度在四十年代末期继续提升。微波科技的进步，使得物理学家能够更准确地测量出氢原子的能级转移，即现今的兰姆位移及电子磁矩。这些实验明确地揭露了当时理论所未能解释的差异。

突破的可能点由汉斯·贝特于1940年代末率先提出。1947年，他在谢尔特岛（Shelter Island）研讨会上讲完有关能级位移的讲座之后，就从纽约乘火车到斯克内克塔迪，期间他成功完成了第一份氢原子线位移的非相对论性计算，这种位移是由威利斯·兰姆与罗伯特·雷瑟福（英语：Robert Retherford）所测量出来的。尽管这份计算有它的局限，但是计算结果还是与实验相当一致。在实验中，质量和电荷被定为一个有限值，而这个计算的独创性就在于，直接把无限置于质量和电荷的修正值中。这样做的话，无限就会被这些常数所吸收，从而得出与实验相符的有限值。这个步骤叫重整化。

基于贝特的直觉，朝永振一郎、朱利安·施温格、理查德·费曼 及弗里曼·戴森发表了多分量子电动力学的基础论文，得出完全协变的表述，终于使任意阶的量子电动力学摄动数列变得有限。因这方面的贡献，朝永振一郎、朱利安·施温格与理查德·费曼共同获得了1965年的诺贝尔物理学奖。他们三人的贡献，还有弗里曼·戴森的，是关于量子电动力学的协变与规范不变表述，这种表述使得物理学家们可以在任意阶的摄动数列中计算出可观测量。费曼的数学技巧，是基于他本人所创的图，看起来好像跟施温格与朝永的解题方法非常不同，他们用的是基于场论及算符的方法。但后来弗里曼·戴森证明了这两套方法其实是相同的 。量子电动力学需要透过积分，为理论中的某些发散赋予物理意义，这个需要就是重整化，它成为了量子场论的一项基础，后来更成为一套理论是否能被认受的判据。尽管计算上重整化的效用是出奇地好，费曼从来都没有对它的数学有效性有十足的信心，他甚至把重整化叫做“骗局”及“花招”:128。

时至今日，量子电动力学已经成了后来所有量子场论的模范与模板。其中一个后续理论就是量子色动力学，它的研究从1960年代开始，在休·波利策、西德尼·科尔曼、戴维·格娄斯与弗朗克·韦尔切克的贡献下，于1975年达至现在的形态。谢尔登·格拉肖、史蒂文·温伯格与阿卜杜勒·萨拉姆各自独立地证明了弱核力与量子电动力学，是可以统一成单一的一种电弱力，而这项研究是基于多位物理学家的前瞻性贡献，其中包括朱利安·施温格、杰拉德·古拉尼、卡尔·哈庚和汤姆·基博尔、彼得·希格斯、杰弗里·戈德斯通等。

费曼在临终前的几年，为了未受过科学训练的群众，主讲了一系列有关量子电动力学的讲座。这些讲座被抄录下来，并结集成书，于1985年出版，书名为《QED：光和物质的奇异性》，该书没有使用数学来阐明量子电动力学，是此领域重要的科学普及著作。其观点如下。

费曼对量子电动力学的说明中，有一项关键，那就是三个基本作用:85：

这些作用可以用图像表示，也就是费曼图的三种基本元素：波浪线代表光子，直线代表电子，两直线与一波浪线的交汇处代表电子发射或吸收光子的顶点。见右图。

重点是，不要过度诠释这些图。不要从这些图中引申出粒子是如何从一点移动到另一点的。这些图并没有代表着粒子会以直线或曲线移动。它们也不代表粒子会以固定速度行进。按惯例使用波浪线代表光子的这件事，并不意味着认定光子比电子更像波。这些图只是单纯代表上述作用的符号：光子和电子确实会以某种方式从一点移动到另一点，而电子也确实会以某种方式发射及吸收光子。实际上人们尚未能了解这些事是如何发生的，但是理论会计算出这些事发生的概率。

费曼除了介绍了这些作用的图像表示之外，还为一个数量提供了另一种表示方式，这个数量叫概率幅。概率幅的平方就是概率。假设一光子由一时间空间——标记为A——移动到另一时间空间——标记为B——那么费曼就会用${\displaystyle P(A\to <!--\; \to \; -->B)}$的定义代入拉格朗日量，得到为

再来将拉格朗日量代入针对代表带电粒子场的欧拉-拉格朗日方程:16

以找出量子电动力学的场方程。

源自此一拉格朗日量的两项则分别为

将此二项代回欧拉-拉格朗日方程 (2) 得到

以及复数共轭

若将后者的中间项移到等号右边则得：

${\displaystyle i{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}-<!--\; -\; -->m\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=e{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$

左手边则形式与原本狄拉克方程相似，而右手边则是与电磁场的相互作用。

另个更重要的方程是将拉格朗日量代入另个欧拉-拉格朗日方程，但这个方程现在是针对${\displaystyle A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$场：

类似的两项在此则为

而此二项代回到 (3) 可得:78

${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{F}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=e\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$

现在，如果让四维势的散度消失，即采用洛伦茨规范条件：

则可得

此为四维势的波动方程，洛伦茨规范条件下量子电动力学版本的经典麦克斯韦方程组。（在上式中，正方形代表达朗贝尔算符）

把玻色子与费米子部分视作自由，则理论的量子化并不复杂。这样就可以构建一组渐近态，用于计算不同过程的概率幅。要做到这点，首先要计算出演进算符，这样就能从已知起始态${\displaystyle |i⟩<!--\; ⟩\; -->}$（见狄拉克符号）得出${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->f|}$形式的终结态，从而可得:5

这种技巧叫S矩阵。演进算符是由相互作用绘景所得，其中时间演进从哈密顿算符而来，即上述拉格朗日量第二项的空间积分，:123

由此可得:86

其中T为时间排序算符，V(t')则是相互作用绘景中的相互作用算符。演进算符只在作为数列时具有意义，而此时所得的是以精细结构常数为发展参数的摄动数列。这种数列叫戴森数列（英语：Dyson series）。

尽管费曼的量子电动力学研究法在概念上相当清晰，但是早期几乎没有教科书引用他的手法。在计算时，使用传播子的傅里叶变换会使计算简便得多。量子物理考虑的是粒子的动量，而不是它们的位置。在相互作用中把粒子视作被创造或湮灭，也是一件方便的事。这样费曼图还是跟之前的一样，但是对线的诠释就不同了。电子线代表的是带某能量与动量的电子，而对光子线的诠释也是这样。顶点图所代表的是一电子的湮灭与另一电子的创造，同时还有一光子的吸收或创造，上述的三种粒子都有各自特定的能量与动量。

形式散射理论给出了散射截面和S矩阵乃至散射振幅的关系。依据LSZ约化公式（英语：LSZ_reduction_formula），又可将散射振幅和相互作用系统的编时传播子在奇点处的行为联系起来。再根据盖尔曼–劳定理，相互作用系统的编时传播子可以写成包含自由场算符、自由真空和相互作用绘景中时间演化算符的表达式。展开时间演化算符，再在戴森级数的项上使用威克定理，就可以将相互作用系统的编时传播子转化为自由场费曼传播子构成的级数。费曼图是一种计算这些级数项的技巧。在量子电动力学中，图各部分对应的规则如下：:801-802

除上述规则外，图中有循环时还必须加上动量积分${\displaystyle \int <!--\; \int \; -->\frac{d{p}^4}{2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^4}}$，因为这些内部粒子（即虚粒子）并不受任何特定的能量－动量所限——连一般在狭义相对论中所需的都限制不了。由此按下面方式，要计算出概率幅并不是一件复杂的事。下例为康普顿散射，即电子与光子间的弹性散射（英语：Elastic scattering）。其散射振幅的领头项由以下两张费曼图贡献：:158-159

由此可得S矩阵一阶摄动数列中的对应概率幅

由此可计算出此散射的截面。

计算演进算符的高阶项不是一件复杂的事，不过这些项包含下面几张简单的图：:ch 10

对于真空极化函数${\displaystyle \mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}$ 的
单圈（one-loop）贡献

电子自身能量函数${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$ 的
单圈贡献

顶点函数（vertex function）${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ 的
单圈贡献

而这几张图都有密闭循环，意味着对应的积分会紫外发散，计算电子自能和顶点函数时还会出现红外发散，因此在数学上没有意义。为了克服这项困难，物理学家开发了一种叫重整化的技巧，这样做就会得到与实验结果相符的有限数值。有一点很重要的是，理论在重整化后是否具有意义，是取决于其发散图的数量是否无限。如果一理论的发散图数量为有限的，那么它就是可重整理论:321。这是因为要把观测量重整，需要有限个的常数去维持预测值的不变。而量子电动力学正正是这样的一套理论，而且它只有三个发散图。重整化这个步骤所得的观测量数值，与实验所得的数值相差很少，例如电子的旋磁比。

要成为一套切实可行的量子场论，具备可重整性是当中的一项重要判据。现时所有描述基本相互作用的理论都是可重整理论，其中重力除外，它的量子部分仍是现时重要的热门研究课题。

弗里曼·戴森利用一则论述证明在量子电动力学里摄动数列的收敛半径是零。其基本的论述如下：假如耦合常数为负，库仑力常数是负的，这等效于电磁作用力被反转。此状况下同电荷会相吸，异电荷会相斥，使得真空不稳定而自动衰变到一堆电子与正子，且电子与正子会自动分离于宇宙的不同角落。由于在负耦合常数下有此理论有问题，无论在耦合常数为零的点圈选多小的一个范围，都会包含这些有问题的负耦合常数，因此数列的收敛半径是零。量子电动力学的摄动数列不会收敛，只会是渐进级数。当计算更多项时，并不会改善其结果。这可以视为是摄动理论的问题，需要一个新的理论来描述，或是直接计算而不管它。