稳定流形

✍ dations ◷ 2025-04-02 20:42:45 #流形,动力系统

在数学动力系统理论中,稳定(或不稳定)流形给出关于体现吸子一般概念的正式定义。

在双曲动态系统中,对应的概念是双曲集(英语:Hyperbolic set)。

以下提供迭代函数或离散动态系统情况下的定义。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。

M {\displaystyle M} 是拓扑空间, f : X X {\textstyle f\colon X\to X} 是同胚的。如果 p {\textstyle p} f {\textstyle f} 的不动点, p {\textstyle p} 的稳定集定义为

p {\textstyle p} 的不稳定集定义为

其中 f 1 {\displaystyle f^{-1}} f {\textstyle f} 的反函数。

如果 p {\textstyle p} 是一个周期为 k {\displaystyle k} 的周期点,那么他就是 f k {\displaystyle f^{k}} 的不动点,而且对其稳定集和不稳定集有

给定 p {\textstyle p} 的邻域 U {\displaystyle {U}} p {\textstyle p} 的局部稳定和不稳定集分别定义为

如果 X {\displaystyle X} 可度量化,那么对任意点 p {\textstyle p} 也可以定义稳定和不稳定集为

其中 d {\displaystyle d} X {\displaystyle X} 的度量(这个定义清楚的会和前面周期点的情况相符合)。

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