稳定流形

✍ dations ◷ 2025-04-26 09:35:44 #流形,动力系统

在数学动力系统理论中，稳定（或不稳定）流形给出关于体现吸子一般概念的正式定义。

在双曲动态系统中，对应的概念是双曲集（英语：Hyperbolic set）。

以下提供迭代函数或离散动态系统情况下的定义。类似的概念适用于时间演变是由流给出的系统。

令 $M {\displaystyle M}$ $M$ 是拓扑空间， ${\textstyle f\colon X\to X}$ ${\textstyle f\colon X\to X}$ 是同胚的。如果 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 是 ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ 的不动点， ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 的稳定集定义为

而 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 的不稳定集定义为

其中 $f^{-1}$ $f^{-1}$ 是 ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ 的反函数。

如果 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 是一个周期为 $k {\displaystyle k}$ $k$ 的周期点，那么他就是 $f^{k}$ $f^{k}$ 的不动点，而且对其稳定集和不稳定集有

给定 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 的邻域 ${U}$ ${U}$ ， ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 的局部稳定和不稳定集分别定义为

如果 $X {\displaystyle X}$ $X$ 可度量化，那么对任意点 ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 也可以定义稳定和不稳定集为

其中 $d {\displaystyle d}$ $d$ 是 $X {\displaystyle X}$ $X$ 的度量（这个定义清楚的会和前面周期点的情况相符合）。

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