集合覆盖问题

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:23:47 #组合数学,计算机科学,计算复杂性理论

集合覆盖问题( Set covering problem,SCP)是组合数学、计算机科学和计算复杂性理论中的一个经典问题。

集合覆盖的决定性问题是卡普的二十一个NP-完全问题之一。

给定全集 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 指一个集合 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} C S {\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}} ,且 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的元素的并集为 U {\displaystyle {\mathcal {U}}}

集合覆盖问题的决定性问题为,给定 ( U , S ) {\displaystyle ({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})} 和一个整数 k {\displaystyle k} ,求是否存在一个大小不超过 k {\displaystyle k} 的覆盖。集合覆盖的最佳化问题为给定 ( U , S ) {\displaystyle ({\mathcal {U}},{\mathcal {S}})} ,求使用最少的集合的一个覆盖。

决定性问题的集合覆盖是NP完全问题,最佳化问题的集合覆盖是NP困难问题。

此外,问题可以在每个集合上添加权值而变为带权集合覆盖问题。

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