海森伯群

✍ dations ◷ 2025-06-15 20:20:29 #群论,李群,数学量子化

在数学里,海森堡群是以维尔纳·海森堡来命名的,为如下之三阶上三角矩阵所组成的群:

元素、、可以取成某种交换环,一般会取成实数环或整数环。

若、、为实数,则可得到一个连续海森堡群 H3(R)。其为一个幂零李群。

若、、为整数,则可得到一个离散海森堡群 H3(Z)。其为一个非阿贝尔幂零群,有两个生成元

并满足关系

其中,

为 H3 中心之生成元。(x-1,y-1和z-1即分别将x,y和z主对角线上的1改为-1)

依贝斯定理所述,其有一个4目的多项式增长率。

若取、、在Z/Z内,则可得到一个模 海森堡群。其为3目的群,其中有两个生成元和,满足关系

更一般性地,海森堡群可以由任何一个辛向量空间来建造。例如,令(,ω)为一个有限维实辛向量空间(故ω为于上之非退化反对称双线性形)。在(,ω)(或简称)上的海森堡群()是一个附有群定律

的集合。

海森堡群是加法群的中心扩张。因此,会有一个正合序列

每一个辛向量空间都会允许有一个满足ω(e,f) = δ的达布基{e,f}1 ≤ , ≤ 。以此一基来叙述,每个向量都可以分解成

其中的和为正则坐标。

若{e,f}1 ≤ , ≤ 是的一个达布基,然后令{为R的一个基,则{e,f, }1 ≤ , ≤ 会是×R的一个对应的基。一个在()内的向量

可以等同于下列矩阵

因此便给出了一个()的真实矩阵表示。

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