热传导方程

热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：

其中 = (, )是和的双变数函数。

假设下述初始条件

其中函数是给定的。再配合下述边界条件

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：

这套技术称作分离变数法。现在将代回方程(1)，

由于等式右边只依赖，而左边只依赖，两边都等于某个常数− λ，于是：

以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解：

假设λ < 0，则存在实数、使得

从(3)得到

于是有 = 0 = ，这蕴含恒等于零。

假设λ = 0，则存在实数、使得

仿上述办法可从等式(3)推出恒等于零。

因此必然有λ > 0，此时存在实数、、使得

从等式(3)可知 = 0，因此存在正整数使得

由此得到热方程形如(4)的解。

一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出：

其中

上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子${\displaystyle u\mapsto <!--\; \mapsto \; -->u_{xx}}$ = ，以下函数序列

是Δ的特征矢量。诚然：

此外，任何满足边界条件(0)=()=0的Δ的特征矢量都是某个。令L2(0, )表 上全体平方可积函数的矢量空间。这些函数构成L2(0, )的一组正交归一基。更明白地说：

最后，序列{} _{∈ N}张出L2(0, )的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化。

一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

因此单位时间内进入的热流量也由以下的面积分给出

其中n(x)是在点的向外单位法矢量。

利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。

注记：

在粒子扩散的模型中，我们考虑的方程涉及

不同情况下的方程：

或者

与都是位置与时间的函数。是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数依赖于浓度（或第二种情况下的概率密度），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间${\displaystyle t=0}$时，上述${\displaystyle P(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R},t)}$。

粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}}$）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置${\displaystyle {\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R}}^0}$时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值${\displaystyle c(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{R},0)}$，浓度分布变为：

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。

（可能的问题：根据上解，u(0)=0）

热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用Crank-Nicolson法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献Wilmott，1995）。

热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中有许多应用。