旋量

✍ dations ◷ 2025-04-02 10:36:14 #旋量,群论,量子力学,量子场论

在数学几何学与物理中,旋量是复向量空间中的的元素。旋量乃自旋群的表象,类似于欧几里得空间中的向量以及更广义的张量,当欧几里得空间进行无限小旋转时,旋量做相应的线性转换。当如此一系列这样的小旋转组合成一定量的旋转时,这些旋量转换的次序会造成不同的组合旋转结果,与向量或张量的情形不同。当空间从0°开始,旋转了完整的一圈(360°),旋量发生了正负号变号(见图),这个特征即是旋量最大的特点。在一给定维度下,需要旋量才能完整地描述旋转,如此引入了额外数量的维度。

在闵可夫斯基空间的情形,也可以定义出相似的旋量,其中狭义相对论的洛伦兹转换扮演旋转的角色。旋量最先是由埃利·嘉当于1913年引入几何学。在1920年代,物理学家发现若要描述电子及其他亚原子粒子的内禀角动量或自旋,旋量为不可或缺的角色。旋量群为所有旋转相关的旋量所构成的群,其二重覆叠了旋转群,因为每个完整旋转结果皆有两种不同但等效的旋转方式。

一种特定的旋量是旋转群(李群SO(n,R))的投影表示中的元素,或更广义地说,是SO(p,q,R)群的投影表示中的元素。

旋量常被描述成“向量的平方根”,因为向量表示会出现在两个相同旋量表示的张量积。

旋量中最典型的是狄拉克旋量。

当前有两种架构可建构出旋量。

一者是表示论架构。正交群的李代数中,有一些群表示无法以寻常的张量来建构,这些群表示称之为旋量群表示(英语:Spin representation),组成成分即旋量。在此观点下,旋量属于旋转群的二重复叠的表示SO(, R);更广义的情形,其为度规记号(英语:metric signature)为(, )之空间中,广义特殊正交群的二重复叠SO+(, , R)。这些二重复叠为称作旋量群Spin()或Spin(, )的李群。

二者是几何架构。人们可以直接建构旋量,并检视相关李群操作下旋量的行为。此方法的优点是直观,但对旋量的复杂性质则难以处理,例子包括菲尔兹恒等式(英语:Fierz identity)。

埃利·嘉当于1913年提出旋量的最广义数学形式。“旋量”一词则是首先出现在保罗·埃伦费斯特的量子物理论文中。

1927年,沃尔夫冈·泡利将旋量应用至数学物理,当时他引入了自旋矩阵。隔年,保罗·狄拉克发现了相对论性的电子自旋理论,其中展示了旋量与洛伦兹群的关连。于1930年代,狄拉克、皮亚特·海恩以及玻尔研究所的其他研究者建立了Tangloids(英语:Tangloids)之类的玩具,作为旋量的教学以及旋量微积分的模型。

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