数字和

✍ dations ◷ 2025-02-24 11:23:38 #数论

一个整数的数字和，是将一数在特定记数系统中的每一个位数相加起来所得的和。例如，84001在十进制中的数字和是13，即 ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$ ，其于b进位制中表示为 ${\textstyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}}$ 在底数为b的进位制表示时的位数个数。而每个位数 ${\textstyle d_{i}}$ ，则满足不等式 ${\textstyle F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)}$ ${\textstyle F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)}$ 。

一般单个位的数（如十进制的0至9）其数字和即为自己本身。十进制下前几个非负整数的数字和为：

彼得·波尔文（英语：Peter_Borwein）和乔纳森·波尔文（英语：Jonathan Borwein）使用此数列的母函数导出了许多快速收敛之有理和超越级数。

负整数的数字和目前没有一个广泛被接受的定义。一般可以透过负整数的有符号数表示法（英语：Signed-digit_representation）来将自然数的数字和推广到负数。

另一种适用于负数的数字和为仅将最高位数代负号，其他位数照样相加的数字和，例如负一百五十八（ $-158$ $-158$ ）可以拆成 $-1,\,5,\,8$ $-1,\,5,\,8$ ，对应的数字和为 ${{{-{1}}+{5}}+{8}}=12$ ${{{-{1}}+{5}}+{8}}=12$ ，这个数列为数字差（OEIS中的数列A274580）的相反数。

数字和虽与数字根不同，但皆可以用于3和9的整除判断。数字和与数字根不同之处在于，数字根必为0至9之间的自然数，而数字和可以是任意整数。两者用于判断3或9的倍数的方法皆是若一数的数字和或数字根能被3或9整除，则其为3或9的倍数。特别地，对于判定9的倍数，此规则称为“九的规则”，为去九法的基础。

在早期的电脑中，亦常使用数字和作为检查计算机计算结果的一种常见方式。此外数字和亦可以作为生成随机数的一种方式。假设所使用的数表中每个数字都是随机的，则根据中心极限定理，这些数的数字和可以视为具有接近高斯分布的随机分布。而早期在计算机还没被发明、使用手工计算时Edgeworth曾于1888年建议可以透过取对数的数学用表中50位数字之和作为随机数生成的一种方式。

下表列出了数字和为特定数的自然数：

数字和为特定数的最小自然数，即上表中，每行的第一个数构成的数列，为清除重复项后的月三角数（lunar triangular numbers）：

数字和可以视为将一数的每个位数视为单一元素并进行统计运算的操作，其他类似地如数字平方和、数字平均（即一数所有位数的平均值， A061383中则记载了数字平均为整数的数）等。

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