矩估计

在统计学中，矩估计（英语：method of moments）是估计总体参数的方法。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代（未知的）总体矩，解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。矩估计是英国统计学家卡尔·皮尔逊于1894年提出的。

假设问题是要估计表征随机变量${\displaystyle W}$的分布${\displaystyle f_W(w;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$的${\displaystyle k}$个未知参数${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k}$。如果真实分布（"总体矩"）的前${\displaystyle k}$阶矩可以表示成这些${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的函数:

设取出一大小为${\displaystyle n}$的样本，得到${\displaystyle w_1,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n}$。对于${\displaystyle j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,k}$，令

为j阶样本矩，是${\displaystyle {\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_j}$的估计。${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_k}$的矩估计量记为${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_1,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_k}$，由这些方程的解（如果存在）定义：