矩估计

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:55:07 #

在统计学中,矩估计(英语:method of moments)是估计总体参数的方法。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩(即所考虑的随机变量的幂的期望值)的方程。然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩。接着使用样本矩取代(未知的)总体矩,解出感兴趣的参数。从而得到那些参数的估计。矩估计是英国统计学家卡尔·皮尔逊于1894年提出的。

假设问题是要估计表征随机变量 W {\displaystyle W} 的分布 f W ( w ; θ ) {\displaystyle f_{W}(w;\theta )} k {\displaystyle k} 个未知参数 θ 1 , θ 2 , , θ k {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}} 。如果真实分布("总体矩")的前 k {\displaystyle k} 阶矩可以表示成这些 θ {\displaystyle \theta } 的函数:

设取出一大小为 n {\displaystyle n} 的样本,得到 w 1 , , w n {\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}} 。对于 j = 1 , , k {\displaystyle j=1,\dots ,k} ,令

为j阶样本矩,是 μ j {\displaystyle \mu _{j}} 的估计。 θ 1 , θ 2 , , θ k {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}} 的矩估计量记为 θ ^ 1 , θ ^ 2 , , θ ^ k {\displaystyle {\hat {\theta }}_{1},{\hat {\theta }}_{2},\dots ,{\hat {\theta }}_{k}} ,由这些方程的解(如果存在)定义:

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