移动平均

在统计学中，移动平均（英语：moving average）、滚动平均值，又称滑动平均是一种通过创建整个数据集中不同子集的一系列平均数来分析数据点的计算方法。它也是有限脉冲响应滤波器的一种。变化包括: 简单移动平均，累积移动平均，以及加权移动平均（描述如下）。

给定一个数列和一个固定子集大小，移动平均数的第一个元素是由数列的初始固定子集的平均值得到的。然后通过“向前移位”修改子集，即排除序列的第一个数，并在子集中包含下一个值。

移动平均通常与时间序列数据一起使用，以消除短期波动，突出长期趋势或周期。短期和长期之间的阈值取决于应用，移动平均的参数将相应地设置。例如，它通常用于对财务数据进行技术分析，如股票价格、收益率或交易量。它也用于经济学中研究国内生产总值、就业或其他宏观经济时间序列。数学上，移动平均是卷积的一种类型，因此它可以被看作是用于信号处理的低通滤波器的一个例子。当与非时间序列数据一起使用时，移动平均滤波器的频率分量更高，但与时间没有任何特定的联系，尽管通常暗含某种排序。简单地看，它可以看作是把数据变得更平滑。

在金融应用中，一个简单移动平均（SMA）是以前 个数据的未加权平均数。然而，在科学和工程中，平均值通常取自中心值两边相等数量的数据。这样可以确保平均值的变化与数据的变化一致，而不是随时间变化。例如，对于 天的收盘价样本，简单等权重移动平均是前 天收盘价的平均值。如果收盘价为 ${\displaystyle p_M,p_{M-<!--\; -\; -->1},\dots <!--\; \dots \; -->,p_{M-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->1)}}$ 个值序列 ${\displaystyle x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n}$，再加上最新的数据点，所有这些均除以到目前为止已接收的点数 +1。 当所有数据点都到达（ = ）时，累积平均值将等于最终平均值。还可以存储数据点的当前总和以及点的数目，并将总数除以数据点的数目，以便在每次有新的基准点到达时得到CMA。

累积平均公式的推导很直接。使用

对于 + 1，我们有

求解 ${\displaystyle {\text{CMA}}_{n+1}}$日WMA的最近期一个数值乘以、次近的乘以，如此类推，一直到0：

由于${\displaystyle WM{A}_{M+1}}$的实际数值为，而时间的EMA则为；时间的EMA则为，计算时间是方程式为：

设今日（）价格为，则今日（）EMA的方程式为：

将${\displaystyle {\text{EMA}}_{t0}}$项及以后的项被忽略，即${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left((1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^k+(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^{k+1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)}$。由于当不断增加，${\displaystyle \log (1-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$大约等于${\displaystyle 3.45\times <!--\; \times \; -->(N+1)}$。

有时计算移动平均时会加入其他变数，例如，“交易量加权”会加入交易量的因素。