三乘积法则

✍ dations ◷ 2025-12-11 10:59:28 #热力学定律,多变量微积分

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三乘积法则（triple product rule）是关于偏导数的一个恒等关系式，其表达式为：

三乘积法则用于热力学关系式的推导。例如温度、压力和体积之间的关系满足：

利用三乘积法则，可以将不易测量的关系用容易测得的物理量代替，如：

下面给出一个非正式的推导。设有函数(, , ) = 0。若将表示为和的函数，则全微分等于

在 = 0的轨迹上，和之间满足

于是将 = 0带入上式，

重排得

将所有偏导数移到等式左边，

此证明假定了偏导数存在，以及全微分存在，偏导数不为零从而能取倒数。数学分析的正式证明能避免这些隐含假定。

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