等谐数列

等谐数列，又名调和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等谐数列中，任何相邻两项倒数的差相等，该差值的倒数称为公谐差（common harmonic difference）。

例如数列：

就是一个等谐数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公谐差都等于 1/₂。

如果一个等谐数列的首项记作 ，公谐差记作 ，那么该等谐数列第 项 的一般项为：

换句话说，任意一个等谐数列 {} 都可以写成

在一个等谐数列中，给定任意两相连项 ₊₁ 和 ，可知公谐差

给定任意两项 和 ，则有公谐差

此外，在一个等谐数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之倒数和，为原来该项倒数的两倍。举例来说，${\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}=\frac{2}{a_2}}$, , , ，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$ 是一个小于 的正整数。

给定一个等谐数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 项之和，称为等谐数列和（sum of harmonic sequence）或调和级数（harmonic series），记作 。

举例来说，等差数列 {1/₃, 1/₅, 1/₇, 1/₉} 的和是 1/₃ + 1/₅ + 1/₇ + 1/₉ = 248/₃₁₅。

等谐数列并没有简单的求和公式。但使用以下反常积分，可对数列和以数值积分作估算：

公式证明如下：

最后一步，使用了等比数列的求和公式。

使用上面的例子，对于数列 {1/₃, 1/₅, 1/₇, 1/₉} ：

结果相等。

从这公式中容易看出，等谐级数是发散的。

一个等谐数列的首 项之积，称为等谐数列积（product of harmonic sequence），记作 。

举例来说，等谐数列 {1/₃, 1/₅, 1/₇, 1/₉} 的积是 1/₃ × 1/₅ × 1/₇ × 1/₉ = 1/₉₄₅。

等谐数列积的公式可以Γ函数表示：

证明如下：

这里使用了等差数列的求积公式。

使用上面的例子，对于数列 {1/₃, 1/₅, 1/₇, 1/₉} ：

结果相等。