拟等距同构

拟等距同构是数学上度量空间之间的等价关系，着重在度量空间上的粗结构，而忽略掉小尺寸上的细节。这样有如从远处观看度量空间，看到其大概，而察看不出细处的分别。

设有两个度量空间${\displaystyle (X,d_X)}$是(, )-粗利普希茨的。这条不等式，可视为在长距离时差不多是-利普希茨连续的。

若对所有${\displaystyle x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->X}$是一个(, )-拟等距嵌入。虽然不一定符合平常意义上的嵌入，即未必把两个不同的点映射到不同的点上，但是对两个相隔得足够远的点，这两点的像也是不同的。

拟等距映射有两个等价定义：

这两个定义中的, 值可能不同。

两个度量空间${\displaystyle (X,d_X)}$, )-拟等距映射，则, 称为(, )-拟等距同构。若常数, 的值不要紧时，可以简单地称, 为拟等距同构。

对度量空间, , ，如果${\displaystyle f_1:X\to <!--\; \to \; -->Y}$是一个拟等距映射。按拟等距映射的定义一，可以取=1, =1，而${\displaystyle g:\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$()=。因此${\displaystyle \mathbb{R}}$，${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$，其中任何两个有限生成集合, 赋予两个字度量${\displaystyle d_S}$可以有多种不同的字度量，但都对应同一个拟等距同构类。因此，可以定义有限生成群之间的拟等距同构关系。而一般的度量空间中的性质，凡是于拟等距映射下不变的，都可以用为有限生成群的性质。几何群论中的双曲群正是一例。

如果一个有限生成群作用于一个度量空间，并满足一些条件，根据施瓦茨－米尔诺引理，这个群和受其作用的度量空间是拟等距同构。故此可以从研究度量空间，得知群的一些性质。