三维球面

✍ dations ◷ 2025-06-30 13:57:34 #代数拓扑,几何拓扑学,四元数,解析几何

数学中，三维球面（英文常写作3-sphere）是球面在高维空间中的类比客体。它由四维欧几里得空间中与一固定中心点等距离的所有点所组成。寻常的球面（或者说二维球面）是一个二维表面，而三维球面是一个具有三个维度的几何客体，这样的几何客体都可以归类为三维流形（3-manifold）。

三维球面也称作超球面（hypersphere），虽然这个辞汇可以更广义地代表任何维球面，而 ≥ 3。

以座标表示，三维球面具有中心（₀, ₁, ₂, ₃）及半径乃在R4符合条件

的所有点的集合：（₀, ₁, ₂, ₃）。

三维球面球心在原点，而半径是1的称为单位三维球面(unit 3-sphere)，常写作3：

方便性上，常将R4另外以复数C2或四元数(quaternions)H等价表示。单位三维球面则可写为

或

最后一个表示法常是最有用的。其将三维球面描述为所有单位四元数（绝对值为1的四元数）的集合。正如同所有单位复数的集合在复数几何是重要的，所有单位四元数的集合在四元数几何中也是重要的。

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