等差数列

等差数列，又名算术数列（英文：arithmetic sequence 或 arithmetic progression），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common difference）。

例如数列：

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都等于 2。

如果一个等差数列的首项记作 ，公差记作 ，那么该等差数列第 项 的一般项为：

换句话说，任意一个等差数列 {} 都可以写成

在一个等差数列中，给定任意两相连项 ₊₁ 和 ，可知公差

给定任意两项 和 ，则有公差

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说，₁ + ₃ = 2₂。

更一般地说，有：

证明如下：

证毕。

从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均：

此结果从上面直接可得。

如果有正整数 , , , ，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$ 是一个小于 的正整数。

给定一个等差数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ = ，首项 = + 。

一个等差数列的首 项之和，称为等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算术级数（arithmetic series），记作 。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

等差数列求和的公式如下：

等差数列和在中文教科书中常表达为:

公式证明如下：

将等差数列和写作以下两种形式：

将两公式相加来消掉公差 ，可得

整理可得第一种形式。

代入 ${\displaystyle a_n=a+(n-<!--\; -\; -->1)d}$ = 2，首项 = + 。

如果${\displaystyle m+n=p+q}$ 项之积，称为等差数列积（product of arithmetic sequence），记作 。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

等差数列积的公式较为复杂，须以Γ函数表示：

证明如下：

这里的 ${\displaystyle x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}}}$ 的 次上升阶乘幂，例子如 ${\displaystyle {1.1}^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}}=1.1\times <!--\; \times \; -->2.1\times <!--\; \times \; -->3.1}$ 。

使用上面的例子，对于数列 {1, 3, 5, 7} ：

结果相等。