等差数列

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:05:07 #序列

等差数列,又名算术数列(英文:arithmetic sequence 或 arithmetic progression),是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差(common difference)。

例如数列:

就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公差都等于 2。

如果一个等差数列的首项记作 ,公差记作 ,那么该等差数列第 的一般项为:

换句话说,任意一个等差数列 {} 都可以写成


在一个等差数列中,给定任意两相连项 +1 ,可知公差

给定任意两项 ,则有公差


此外,在一个等差数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之和,为原来该项的两倍。举例来说,1 + 3 = 22

更一般地说,有:

证明如下:

证毕。


从另一个角度看,等差数列中的任意一项,是其前一项和后一项的算术平均:

此结果从上面直接可得。


如果有正整数 , , , ,使得 m + n = p + q {displaystyle m+n=p+q} 是一个小于 的正整数。


给定一个等差数列 { a n } {displaystyle {a_{n}}} = ,首项 = + 。

一个等差数列的首 项之和,称为等差数列和(sum of arithmetic sequence)或算术级数(arithmetic series),记作

举例来说,等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。


等差数列求和的公式如下:

等差数列和在中文教科书中常表达为:

公式证明如下:

将等差数列和写作以下两种形式:

将两公式相加来消掉公差 ,可得

整理可得第一种形式。

代入 a n = a + ( n 1 ) d {displaystyle a_{n}=a+(n-1)d} = 2,首项 = + 。


如果 m + n = p + q {displaystyle m+n=p+q} 项之积,称为等差数列积(product of arithmetic sequence),记作

举例来说,等差数列 {1, 3, 5, 7} 的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。


等差数列积的公式较为复杂,须以Γ函数表示:

证明如下:

这里的 x n ¯ {displaystyle x^{overline {n}}} 次上升阶乘幂,例子如 1.1 3 ¯ = 1.1 × 2.1 × 3.1 {displaystyle 1.1^{overline {3}}=1.1times 2.1times 3.1}


使用上面的例子,对于数列 {1, 3, 5, 7} :

结果相等。


相关

  • 3s12,8,1蒸气压第一:495.8 kJ·mol−1 第二:4562 kJ·mol−1 第三:6910.3 kJ·mol−1 (主条目:钠的同位素钠是一种化学元素,元素符号为Na,原子序为11,相对原子量为23。它是柔软且
  • Nasub2/subSsub2/sub二硫化钠是一种无机化合物,化学式为Na2S2。二硫化钠可由硫化钠和硫反应,或者金属钠和硫在液氨中反应得到。二硫化钠是浅黄色固体,具有潮解性。加热时,它的颜色变深,并在400 °C变
  • 刘仕谔刘仕谔(?-1397年),一作刘谔,浙江山阴人,明朝政治人物、探花。刘仕谔父为刘子华,以明经被举荐,授大兴同知,改青州推官。刘仕谔于洪武二十九年乡试中举。次年会试中试,廷试时被擢一甲第三
  • 萨巴赫家族萨巴赫家族自1752年开始统治科威特至今。1961年科威特独立,萨巴赫家族族长成为科威特埃米尔。1915年谢赫穆巴拉克去世后萨巴赫家族分为贾比尔支和萨利姆支,两支轮流继承王位。
  • 陶湘陶湘(1871年-1940年),字兰泉,号涉园,江苏武进人。陶青之后,祖父陶世绵,父陶恩泽。同冶十年(1871年)出生,光绪十七年(1891年),娶同里恽氏为妻,与盛宣怀友好。辛亥革命后迁居天津。袁世凯执政
  • 毛睿龙毛睿龙(1990年1月18日-),中国围棋职业五段棋手,湖北省人。幼年来到山东省青岛市,就读于青岛嘉峪关学校,围棋由青岛晚报围棋俱乐部赵庭老师启蒙。2006年中国围棋甲级联赛代表武汉华
  • 今别府香里今别府香里(日语:今別府 香里/いまべっぷ かおり ,1986年9月7日-),日本女子羽毛球运动员。奈良县出生,毕业于大和高田市立菅原小学校、大和高田市立片塩中学校及青森山田高校,曾效力
  • 克里斯蒂安一世 (普法尔茨-比肯费尔德-比什维莱尔)克里斯蒂安一世(德语:Christian I.,1598年11月3日-1654年9月6日),普法尔茨-比肯费尔德-比什维莱尔(英语:Palatinate-Birkenfeld-Bischweiler)伯爵,1600年至1654年在位。1630年,克里斯蒂
  • 阿佐特阿佐特(Azoth)是炼金术中提到的万用溶媒和万用灵药,它用的标志就是商神杖。阿佐特本和贤者之石一样,本是被炼金术士追求的异教秘方,后来成了一个水银的代名词。这个词的本来在拉
  • 罗益强罗益强(1937年8月27日-2015年5月11日),(台湾飞利浦建元电子工程师,台湾飞利浦建元电子公司(IC)厂经理),浙江省鄞县,台湾企业家。在1999年,因健康因素辞职。