雅可比符号

在数论中，雅可比符号是勒让德符号的一种推广，首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用，尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

勒让德符号${\displaystyle (\frac{a}{p})}$是对于所有的正整数 ${\displaystyle a}$ 和所有的素数 ${\displaystyle p}$ 定义的。

当${\displaystyle (\frac{a}{p})=1}$ 时，称${\displaystyle a}$ 是模${\displaystyle p}$的二次剩余；当${\displaystyle (\frac{a}{p})=-<!--\; -\; -->1}$ 时，称${\displaystyle a}$ 是模${\displaystyle p}$的二次非剩余。

运用勒让德符号计算时要将 ${\displaystyle a}$ 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 ${\displaystyle m}$ 是一个正奇数，其质因数分解式为 ${\displaystyle m=\underset{i=1}{\overset{s}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{p}_i}$，并且正整数 ${\displaystyle a}$ 满足 ${\displaystyle (m,a)=1}$ 那么定义${\displaystyle (\frac{a}{m})=\underset{i=1}{\overset{s}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(\frac{a}{p_i})}$。