雅可比符号

✍ dations ◷ 2025-04-04 07:22:23 #同余,数学符号

在数论中,雅可比符号是勒让德符号的一种推广,首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用,尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

勒让德符号 ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} 是对于所有的正整数 a {\displaystyle a} 和所有的素数 p {\displaystyle p} 定义的。

( a p ) = 1 {\displaystyle ({\frac {a}{p}})=1} 时,称 a {\displaystyle a} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余;当 ( a p ) = 1 {\displaystyle ({\frac {a}{p}})=-1} 时,称 a {\displaystyle a} 是模 p {\displaystyle p} 的二次非剩余。

运用勒让德符号计算时要将 a {\displaystyle a} 分解成标准形式,计算上十分麻烦,因此产生了雅可比符号:

m {\displaystyle m} 是一个正奇数,其质因数分解式为 m = i = 1 s p i {\displaystyle m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}} ,并且正整数 a {\displaystyle a} 满足 ( m , a ) = 1 {\displaystyle (m,a)=1} 那么定义 ( a m ) = i = 1 s ( a p i ) {\displaystyle ({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})}

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