雅可比符号

✍ dations ◷ 2025-12-10 07:49:20 #同余,数学符号

在数论中，雅可比符号是勒让德符号的一种推广，首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用，尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

勒让德符号 $({\tfrac {a}{p}})$ $({\tfrac {a}{p}})$ 是对于所有的正整数 $a {\displaystyle a}$ $a$ 和所有的素数 $p {\displaystyle p}$ $p$ 定义的。

当 $({\frac {a}{p}})=1$ $({\frac {a}{p}})=1$ 时，称 $a {\displaystyle a}$ $a$ 是模 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的二次剩余；当 $({\frac {a}{p}})=-1$ $({\frac {a}{p}})=-1$ 时，称 $a {\displaystyle a}$ $a$ 是模 $p {\displaystyle p}$ $p$ 的二次非剩余。

运用勒让德符号计算时要将 $a {\displaystyle a}$ $a$ 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 $m {\displaystyle m}$ $m$ 是一个正奇数，其质因数分解式为 $m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}$ $m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}$ ，并且正整数 $a {\displaystyle a}$ $a$ 满足 $(m,a)=1$ $(m,a)=1$ 那么定义 $({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})$ $({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})$ 。

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