马丢函数

马丢函数（法语：Équation de Mathieu）是1868年法国数学家以米里迂·拉·马丢（法语：Émile Mathieu）因研究数学物理所推得的特殊函数，下列马丢方程的解析解：

马丢方程有两个线性无关的解：

MathieuCE(n, q, x)，或记为${\displaystyle w_I(n,q,x)}$,

MathieuSE(n, q, x).或记为${\displaystyle w_{II}(n,q,x)}$称为基本解

马丢函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ 或${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的周期解，另一个不是。

马丢函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为${\displaystyle 2n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（n≥2)的周期函数。

马丢方程的特征方程是

${\displaystyle cos(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->v)=w_I(a,q,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$

${\displaystyle cos(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->v)=w_{II}(b,q,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$

对于给定的v，q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

马丢函数体特征值可展开成级数：

${\displaystyle a_0(q)=-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->z^2+(7/128)\ast <!--\; \ast \; -->z^4-<!--\; -\; -->(29/2304)\ast <!--\; \ast \; -->z^6+(68687/18874368)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+O(z^{1}0)}$${\displaystyle a_1(q)=1+z-<!--\; -\; -->(1/8)\ast <!--\; \ast \; -->z^2-<!--\; -\; -->(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->z^3-<!--\; -\; -->(1/1536)\ast <!--\; \ast \; -->z^4+(11/36864)\ast <!--\; \ast \; -->z^5+(49/589824)\ast <!--\; \ast \; -->z^6+(55/9437184)\ast <!--\; \ast \; -->z^7-<!--\; -\; -->(83/35389440)\ast <!--\; \ast \; -->z^8-<!--\; -\; -->(12121/15099494400)\ast <!--\; \ast \; -->z^9+O(z^{1}0)}$${\displaystyle a_2(q)=4+(5/12)\ast <!--\; \ast \; -->z^2-<!--\; -\; -->(763/13824)\ast <!--\; \ast \; -->z^4+(1002401/79626240)\ast <!--\; \ast \; -->z^6-<!--\; -\; -->(1669068401/458647142400)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+O(z^{1}0)}$${\displaystyle a_3(q)=9+(1/16)\ast <!--\; \ast \; -->z^2+(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->z^3+(13/20480)\ast <!--\; \ast \; -->z^4-<!--\; -\; -->(5/16384)\ast <!--\; \ast \; -->z^5-<!--\; -\; -->(1961/23592960)\ast <!--\; \ast \; -->z^6-<!--\; -\; -->(609/104857600)\ast <!--\; \ast \; -->z^7+(4957199/2113929216000)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+(872713/1087163596800)\ast <!--\; \ast \; -->z^9+O(z^{1}0)}$

${\displaystyle b_1(q)=1-<!--\; -\; -->z-<!--\; -\; -->(1/8)\ast <!--\; \ast \; -->z^2+(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->z^3-<!--\; -\; -->(1/1536)\ast <!--\; \ast \; -->z^4-<!--\; -\; -->(11/36864)\ast <!--\; \ast \; -->z^5+(49/589824)\ast <!--\; \ast \; -->z^6-<!--\; -\; -->(55/9437184)\ast <!--\; \ast \; -->z^7-<!--\; -\; -->(83/35389440)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+(12121/15099494400)\ast <!--\; \ast \; -->z^9+O(z^{1}0)}$${\displaystyle b_2(q)=4-<!--\; -\; -->(1/12)\ast <!--\; \ast \; -->z^2+(5/13824)\ast <!--\; \ast \; -->z^4-<!--\; -\; -->(289/79626240)\ast <!--\; \ast \; -->z^6+(21391/458647142400)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+O(z^{1}0)}$${\displaystyle b_3(q)=9+(1/16)\ast <!--\; \ast \; -->z^2-<!--\; -\; -->(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->z^3+(13/20480)\ast <!--\; \ast \; -->z^4+(5/16384)\ast <!--\; \ast \; -->z^5-<!--\; -\; -->(1961/23592960)\ast <!--\; \ast \; -->z^6+(609/104857600)\ast <!--\; \ast \; -->z^7+(4957199/2113929216000)\ast <!--\; \ast \; -->z^8-<!--\; -\; -->(872713/1087163596800)\ast <!--\; \ast \; -->z^9+O(z^{1}0)}$${\displaystyle b_4(q)=16+(1/30)\ast <!--\; \ast \; -->z^2-<!--\; -\; -->(317/864000)\ast <!--\; \ast \; -->z^4+(10049/2721600000)\ast <!--\; \ast \; -->z^6-<!--\; -\; -->(93824197/2006581248000000)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+O(z^{1}0)}$${\displaystyle b_5(q)=25+(1/48)\ast <!--\; \ast \; -->z^2+(11/774144)\ast <!--\; \ast \; -->z^4-<!--\; -\; -->(1/147456)\ast <!--\; \ast \; -->z^5+(37/891813888)\ast <!--\; \ast \; -->z^6+(7/339738624)\ast <!--\; \ast \; -->z^7+(63439/201364441399296)\ast <!--\; \ast \; -->z^8+(1/2130840649728)\ast <!--\; \ast \; -->z^9+O(z^{1}0)}$

马丢函数ce,se的级数展开

${\displaystyle c{e}_0(z,q)=1-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(2\ast <!--\; \ast \; -->z)\ast <!--\; \ast \; -->q+(-<!--\; -\; -->1/16+(1/32)\ast <!--\; \ast \; -->cos(4\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^2+((11/128)\ast <!--\; \ast \; -->cos(2\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->(1/1152)\ast <!--\; \ast \; -->cos(6\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^3+O(q^4)}$${\displaystyle c{e}_1(z,q)=cos(z)-<!--\; -\; -->(1/8)\ast <!--\; \ast \; -->cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)\ast <!--\; \ast \; -->q+(-<!--\; -\; -->(1/128)\ast <!--\; \ast \; -->cos(z)-<!--\; -\; -->(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)+(1/192)\ast <!--\; \ast \; -->cos(5\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^2+(-<!--\; -\; -->(1/512)\ast <!--\; \ast \; -->cos(z)+(1/3072)\ast <!--\; \ast \; -->cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)+(1/1152)\ast <!--\; \ast \; -->cos(5\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->(1/9216)\ast <!--\; \ast \; -->cos(7\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^3+O(q^4)}$${\displaystyle c{e}_2(z,q)=cos(2\ast <!--\; \ast \; -->z)+(1/4-<!--\; -\; -->(1/12)\ast <!--\; \ast \; -->cos(4\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q+(-<!--\; -\; -->(19/288)\ast <!--\; \ast \; -->cos(2\ast <!--\; \ast \; -->z)+(1/384)\ast <!--\; \ast \; -->cos(6\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^2+(-<!--\; -\; -->49/1152+(11/4608)\ast <!--\; \ast \; -->cos(4\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->(1/23040)\ast <!--\; \ast \; -->cos(8\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^3+O(q^4)}$${\displaystyle c{e}_3(z,q)=cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)+((1/8)\ast <!--\; \ast \; -->cos(z)-<!--\; -\; -->(1/16)\ast <!--\; \ast \; -->cos(5\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q+(-<!--\; -\; -->(5/512)\ast <!--\; \ast \; -->cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)+(1/64)\ast <!--\; \ast \; -->cos(z)+(1/640)\ast <!--\; \ast \; -->cos(7\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^2+(-<!--\; -\; -->(1/512)\ast <!--\; \ast \; -->cos(3\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->(1/4096)\ast <!--\; \ast \; -->cos(z)+(11/40960)\ast <!--\; \ast \; -->cos(5\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->(1/46080)\ast <!--\; \ast \; -->cos(9\ast <!--\; \ast \; -->z))\ast <!--\; \ast \; -->q^3+O(q^4)}$

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