亚历山大对偶

✍ dations ◷ 2025-11-06 02:55:39 #亚历山大对偶

在数学中，亚历山大对偶是指由 J.W. Alexander于1915年的研究中所发现一种对偶理论。它在随后由Pavel Alexandrov和Lev Pontryagin等人做了进一步发展。

对于欧氏空间、球面或其他的某些流形的一个子空间 ${displaystyle X}$ $X$ ，亚历山大对偶可以用于求 ${displaystyle X^{c}}$ ${displaystyle X^{c}}$ 的同调群。亚历山大对偶是Spanier-Whitehead对偶的一种推广。

考虑 n 维球面 ${displaystyle S^{n}}$ ${displaystyle S^{n}}$ 的一个紧子空间 ${displaystyle X}$ $X$ ，若其局部可缩，则有：

其中 ${displaystyle {tilde {H}}_{i}(X)}$ ${displaystyle {tilde {H}}_{i}(X)}$ 代表空间 ${displaystyle X}$ $X$ 的 ${displaystyle i}$ $i$ 维约化同调群，同样， ${displaystyle {tilde {H}}^{i}(X)}$ ${displaystyle {tilde {H}}^{i}(X)}$ 代表空间 ${displaystyle X}$ $X$ 的 ${displaystyle i}$ $i$ 维约化上同调群。

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