游荡集

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:30:58 #遍历理论

在动力系统及遍历理论等数学的分支里,游荡集此一概念公式化了此系统中运动和混合的某些概念。当一个动力系统存在一非零测度的游荡集时,即代表此系统为一耗散结构。这和使用始态复现定理概念的保守系统极为不同。直觉上,游荡集和耗散结构之间的关系是很容易了解的:若一部分相空间在此系统正常的时间演化下会“游荡开来”,且不再接近,则此系统即是耗散的。使用游荡集的语言可以使耗散结构的概念有一个精确、数学的定义。

游荡集的一普通且离散时间的定义开始于一拓扑空间本身的映射 f : X X {\displaystyle f:X\to X} 内的被称为游荡点若存在一的邻域及一正整数使得对所有的 n > N {\displaystyle n>N} 为一测度空间,即部分的三元组 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 上的一元连续阿贝尔群作用:

在此情况下,一个于内的游荡点会有一个的邻域及一时间,使得对所有时间 t > T {\displaystyle t>T} ,此集合

称做点的轨迹或轨道。

于Ω内的一元素被称为一游荡点,若存在一的邻域及Γ单位元的邻域,使得对所有的 γ Γ V {\displaystyle \gamma \in \Gamma -V} 的开集合,都可以找到在一些 n 1 {\displaystyle n\geq 1} 为一在一离散群Γ的群作用下的游荡集,若为可测度的且对任一 γ Γ { e } {\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}} 轨迹的定义为

Γ的作用称为完全耗散的,若存在一正测度的游荡集,使得轨道 W {\displaystyle W^{*}} 几乎处处相等于Ω,即若

为一零测度的集合。

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