1 + 2 + 4 + 8 + …

✍ dations ◷ 2025-09-19 15:25:25 #发散级数,级数,二进制算术

在数学领域,1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数,它的每一项都是2的幂。作为几何级数,它以 1 为首项,2 为公比。

作为实数级数,他发散到无穷,所以在一般意义下它的和不存在。

如果以代数运算的方式来计算这个数列的和,虽然可以得到∞以及-1这两个值,但这必须在更广泛的意义中才能成立。

在历史和数学教育,1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数,其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …。

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 1, 3, 7, 15, …,由于该数列发散到无穷,所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷,包括切萨罗求和法和阿贝尔求和法。

另一方面,有一种广义方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和为有限值 -1。相应的幂级数

的收敛半径为 1/2,因此它在 = 1 时不收敛。然而,这样定义的函数 在去掉点 = 1/2 后,具有到复平面唯一的解析开拓,并且具有相同的形式 (x) = 1/(1 − 2)。由于 (1) = −1,原级数 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (),其和为 −1,并且 -1 是级数的()和。(此标识方式是由戈弗雷·哈罗德·哈代参考莱昂哈德·欧拉在无穷级数上的研究而得)

用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数,例如

并用 = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 = 2 等价转换。

事实上()和为1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一个有限值,这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面,他具有某些求和法可取的性质,包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1,因此它令下面的操作有效:

在某种意义下, = ∞ 是方程 = 1 + 2的一个解(例如∞是黎曼球上莫比乌斯变换 → 1 + 2 的两个不动点之一)。如果某种已知的求和方法返回一个常数,不是∞,那么这是容易确定的。在这种情形下可能由方程的两边消去,得到 0 = 1 + ,所以 = −1。

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