Lottak-Volterra方程

✍ dations ◷ 2025-08-08 03:52:25 #Lottak-Volterra方程
洛特卡-沃尔泰拉方程(Lotka-Volterra equation)别称掠食者—猎物方程。是一个二元一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物系统中,掠食者与猎物进行互动时的动态模型,也就是两者族群规模的消长。此方程分别在1925年与1926年,由阿弗雷德·洛特卡与维多·沃尔泰拉独立发表。以下将式子乘开,如此可以较容易地解释方程式的实际意义。第一式所表达的是猎物族群的增值速度:此模型假设猎物所接受的食物供给已经达到最极限,且除非遭遇掠食者的捕食,否则繁殖数量的增加以指数方式成长,其指数成长的情形,则以上述方程式中的 αx 表现。此外并假设猎物遭遇捕食的比例,和猎物遭遇掠食者的机会成常数比,以上述方程式中的 βxy 表现。如果 x 或 y 其中一个为零,则皆有可能是没有捕食行为出现。由上述的方程式可知:猎物族群规模的改变,源于本身受到捕食而产生的成长衰减。第二式所表达的是掠食者族群的增值速度:此方程式中的 δxy 表示掠食者族群的成长(可能会与掠食者与猎物的数量比例相似,但是掠食者与猎物的数量比例是以不同的常数表示,且不一定与族群的成长相等。) γy 表示掠食者的自然死亡,为指数衰减。由上述的方程式可知:掠食者族群规模的改变,是猎食者族群的成长,减去其自然死亡的部分。此方程式拥有周期性的解,但没有解析解。通过龙格-库塔法的数字计算之后,掠食者与猎物的族群大小变化可以表达成两个曲线图形。生态上的实际大致依照此简单模式,不过详细状况会有所出入。在此模式系统中,当猎物数量充足的时候,掠食者的族群也会兴旺起来。不过掠食者的族群最后仍然会因为超过猎物所能供给的数量而开始衰减。当掠食者的族群族群缩减,则猎物族群将会再次增大。两者的族群大小便以周期性的成长与衰减进行循环。族群的平衡会发生在族群大小不再变化的时候。例如:两条微分方程皆等于零的时候。求解上述方程式的 x 与 y 可得:以及由此可知有两组解。第一组解实际上是表示两个物种的灭绝,若是两个族群皆为零,则此状况将永久持续下去。第二组解表示一个不动点,意思是两个族群能够维持一个不为零的数量,并且在简单的模型中能够永久持续。系数 α, β, γ, 与 δ ,能够决定族群规模将在哪种情况下达成平衡状态。不动点的稳定性可以利用偏导数,将其以线性化方式呈现。产生的掠食者猎物模型之雅可比矩阵如下:当数值为(0,0)稳定状态,则雅可比矩阵变成:此矩阵的特征值为:模型中的 α 与 γ 永远比零大,且每一的特征值的符号永远不一样。由此可知位在原点的不动点是一个鞍点(saddle point)。此不动点的稳定性相当重要,当处于稳定态的时候,非零的族群会趋向它。一些初始的族群可能会走向灭绝。然而当不动点位于原点时,也是一个鞍点,因此并不稳定。所以在此模型中,两个物种皆难以灭绝。除非以人为方式将猎物完全消灭,并使掠食者因饥荒而死亡。而若是将掠食者完全消灭,则猎物的族群增长情形,将会脱离此简单模型。在第二不动点求 J 值可得:此矩阵的特征值为:当特征值皆为复数时,此不动点为一个焦点。实部为零使其成为一个中心。 这表示掠食者与猎物族群规模呈现循环消长,并且以此不动点为中心来回震荡。d r d t = 2 ∗ r ( t ) − α ∗ r ( t ) ∗ f ( t ) 1 + s ∗ r ( t ) {displaystyle {frac {dr}{dt}}=2*r(t)-{frac {alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}} ;d f d t = − f ( t ) + α ∗ r ( t ) ∗ f ( t ) 1 + s ∗ r ( t ) {displaystyle {frac {df}{dt}}=-f(t)+{frac {alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}}图示当 α=0.01,s=0.001 时的饱和沃尔泰拉方程。

相关

  • 心脏病学人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学心脏病学(英语:cardiology)亦称心脏学,为
  • 碳青霉烯碳青霉烯(Carbapenem)是一类广效性抗生素的总称,通常被作为后线抗生素使用,治疗严重的细菌感染。这类抗生素通常仅被用在多重抗药性(MDR)细菌的治疗上。碳青霉烯和盘尼西林、头孢
  • 临床化学临床化学(英语:Clinical chemistry,亦被称为化学病理学、临床生物化学或医学生物化学)是临床病理学的领域之一,主要注重体液的分析。使用简单化学方法检测血液和尿液的学科是在19
  • 沙特阿拉伯沙特阿拉伯(阿拉伯语:العربية السعودية‎),或译沙乌地阿拉伯、沙地阿拉伯,全称沙特阿拉伯王国(阿拉伯语:المملكة العربية السعودية‎,al-Maml
  • 多肽肽(英语:peptide,来自希腊文的“消化”),旧称胜,即胜肽,又称缩氨酸,是天然存在的小生物分子,介于氨基酸和蛋白质之间的物质。由于氨基酸的分子最小,蛋白质最大,而它们则是氨基酸单体组
  • 自由意志后设伦理学 规范性 · 描述性 效果论 义务论 美德伦理学 关怀伦理学 善与恶 · 道德生物伦理学 · 网络伦理(英语:Cyberethics) · 神经伦理学(英语:Neuroethics) ·
  • 淀粉样蛋白淀粉样物质(英语:amyloid)是一种不可溶的纤维性蛋白质,“淀粉样物质”,港澳台称为“类淀粉蛋白”。在器官中不正常的堆积,会造成类淀粉沉积症(amyloidosis)。在许多神经性疾病,如阿兹
  • 吊颈吊颈可以是:
  • 葡萄牙葡萄牙国家图书馆(Biblioteca Nacional de Portugal)是葡萄牙的法定送存国家图书馆,位于该国首都里斯本。1796年创立时称为“Real Biblioteca Pública da Corte”,位于希亚多区
  • PET-CTPET-CT全称“正电子发射断层扫描/X射线计算机断层成像 ”,是筛查全身早期肿瘤的方法。它将PET和CT两个设备有机结合起来,同时具有两者的功能。将PET图像与CT图像融合,可以明显