母函数

在数学中，某个序列${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个的值都存在。

母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。

注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个上域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。

瑞士数学家雅各布·伯努利在考虑“当投掷n粒骰子时，加起来点数总和等于m的可能方式的数目”这个问题时首先使用了母函数方法，并得出可能的数目是${\displaystyle (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6{)}^n}$ 从1 而不是0 开始。

关于算术函数 :${\displaystyle f(n)}$ 和 ${\displaystyle p}$ 的贝尔级数是：

狄利克雷级数经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列${\displaystyle (a_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$的狄利克雷级数母函数是：

当 ${\displaystyle a_n}$ 是积性函数时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积：

如果 ${\displaystyle a_n}$是狄利克雷特征，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。

${\displaystyle {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^n=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}}}$用于等比数列求和或推导级数${\displaystyle {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^m{x}^n}}$。

${\displaystyle {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})x^n=\frac{1}{(1-<!--\; -\; -->x{)}^{k+1}}}}$用于求解一次不定方程的解数，类似隔板法。

对于非负整数${\displaystyle x_1,x_2,...,x_k}$，${\displaystyle x_1+x_2+...+x_k=n}$有${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-<!--\; -\; -->1}{k-<!--\; -\; -->1})}$个解：

对于非负整数${\displaystyle x_1,x_2,...,x_k}$，${\displaystyle x_1+2x_2+2x_3=m}$有${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{+2}{2})}$个解：