自由黎曼气体

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:06:28 #量子场论,统计力学,解析数论,素数,数学物理

自由黎曼气体模型(英语:free Riemann gas model),又名素数子气体模型(英语:Primon gas model)或素数气体模型(英语:Prime number gas model),是统计物理学和量子场论中的一个玩具模型(英语:Toy model)。该模型刻画了素数理论与一个假想的、无相互作用的量子场理论之间的对应关系;后者的激发态被称为“素数子”(英语:Primon)。1990年,唐纳德•斯佩克特和伯纳德•朱利亚两人彼此独立地提出了这一模型;随后,巴卡斯,博威克和斯佩克特进一步研究了该理论与更为复杂的模型(例如弦论)之间的关联。

考虑一个无相互作用的全同玻色子构成的量子系统。假设每个粒子有可列多个分立能级:

张成了态空间的一组正交基。令:

为全体素数的构成的升序列。则如下的映射:

是这组正交基到正整数的双射,后者由因数分解的唯一性保证。因此,系统的任意粒子态都可以用正整数唯一标记。在数学文献中,这种标记方法被称为哥德尔编号。

现在假设单粒子态的能量满足:

满足上述性质的假想粒子称为素数子。此时,对于任意一个粒子态 | N {\displaystyle |N\rangle } ,其能量 E N {\displaystyle E_{N}} 都满足:

该系统在参数为 β {\displaystyle \beta } 的正则系综下的配分函数为黎曼函数:

另一方面,配分函数可以写成如下的连乘积:

即得欧拉乘积公式。

上述素数子气体模型可以自然地推广到超对称的情形。在超对称模型中,每个玻色场的湮灭算子都存在一个与之对应的费米场的湮灭算子;令后者为:

如此,该模型的粒子态具有如下形式:

由于泡利不相容原理,每个费米场此时,每个粒子态可以利用如下定义的两个正整数标记:

类似地,任意一个正整数 N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} 的任何一个不含平方数因数的因数 d {\displaystyle d} 构成的数对 ( N , d ) {\displaystyle (N,d)} 唯一决定了该模型中的一个粒子态。其中,粒子态的能量仅由 N {\displaystyle N} 决定,而其自旋统计性质仅取决于 d {\displaystyle d}

注意到如此构建的粒子态恰好为算子 ( 1 ) F ^ {\displaystyle (-1)^{\hat {F}}} 的本征态:

其中函数 μ ( d ) {\displaystyle \mu (d)} 满足:

因此 μ ( d ) {\displaystyle \mu (d)} 为默比乌斯函数。

算子 ( 1 ) F ^ {\displaystyle (-1)^{\hat {F}}} 在参数为 β {\displaystyle \beta } 的正则系综中的平均值为威腾指标:

由于模型中费米场与玻色场没有相互作用,求迹运算可以对玻色自由度和费米自由度分别进行:

另一方面,

由于超对称性,算子 ( 1 ) F ^ {\displaystyle (-1)^{\hat {F}}} 在除真空态以外的任意具有确定 N {\displaystyle N} 的粒子态构成的子空间上的表示矩阵都是无迹的。因而:

因此通过计算这个超对称素数子模型的威腾指标,可以得到如下关于默比乌斯函数的恒等式:

利用这一公式可推出素数定理。

量子场论与素数理论的这种关联可以进一步地抽象为拓扑量子场论与K理论的关联。为实现这一目的,可将素数推广为素理想。

相关

  • 感冒感冒是以鼻症状(鼻塞、流鼻水)和发烧为主要特征的人类常见的疾病。发烧是由于上呼吸道重度发炎。重度发炎引起的并发症还包括头晕、头痛、咽痛、畏寒、肠胃不适、食欲不振、全
  • 肉桂醛肉桂醛(英语:Cinnamaldehyde),亦作桂皮醛,是一种醛类有机化合物,为黄色黏稠状液体,大量存在于肉桂等植物体内。肉桂的树皮(即桂皮)的特殊香味就是来源于这种化合物。 除肉桂外,樟树的
  • 阿道夫·威廉·赫尔曼·科尔贝阿道夫·威廉·赫尔曼·科尔贝(德语:Adolph Wilhelm Hermann Kolbe,又译柯尔伯、柯尔贝、科尔被,1818年9月27日-1884年11月25日),德国化学家。科尔贝生于汉诺威王国哥廷根附近的艾
  • Challenger Expedition 1873-76挑战者号科学考察是1872年至1876年期间,使用英国舰队挑战者号实施的一次科学考察活动,它完成了多项发现,为海洋学的建立奠定了基础。在苏格兰,爱丁堡大学和莫契斯东中学的查尔斯
  • 水的性质水分子(化学式:H2O)是地球表面上最多的分子,除了以气体形式存在于大气中,其液体和固体形式占据了地面70-75%的组成部分。标准状况下,水分子在液体和气体之间保持动态平衡。室温下,
  • 李莱生李莱生(1921年8月22日-1993年11月22日),祖籍广东梅县瓜洲,客家人。马来西亚著名的企业家、华教先贤。李莱生出生在马来亚霹雳州怡保的万里望。祖父的哥哥李杵臣曾为富豪姚德胜办
  • 康拉德·维德康拉德·维德(英语:Hans Walter Conrad Veidt,1893年1月22日-1943年4月3日)是一名出生于德国后来移民美国的演员。他最出名的角色之一是在《北非谍影》中饰演德国少校。康拉德·
  • 德式桌上游戏德式桌上游戏(德语:Brettspiel)是一种桌面游戏类型,一般规则较为简单、耗时不多、玩家间互动性强且游戏零件设计抽象化。 游戏强调战略、淡化运气、减少冲突,因此相对于军事主题
  • 佐州自救兄弟《佐州自救兄弟》(英语:)是一部于2014年上映的美国动作喜剧片,为提姆·史多利执导。由艾斯·库伯、凯文·哈特、约翰·李古查摩、蒂卡·桑普特、布鲁斯·麦吉尔和劳伦斯·菲什伯
  • 艾莎·冈萨雷斯艾莎·冈萨雷斯·雷纳(西班牙语:Eiza González Reyna,1990年1月30日-)是一位墨西哥女演员和歌手。冈萨雷斯生于墨西哥索诺拉州卡沃尔卡(英语:Caborca)。冈萨雷斯是前墨西哥模特格兰