拉格朗日力学

✍ dations ◷ 2025-04-02 08:49:29 #拉格朗日力学

拉格朗日力学(英语:Lagrangian mechanics)是分析力学中的一种,于1788年由约瑟夫·拉格朗日所创立。拉格朗日力学是对经典力学的一种的新的理论表述,着重于数学解析的方法,并运用最小作用量原理,是分析力学的重要组成部分。

经典力学最初的表述形式由牛顿建立,它着重于分析位移,速度,加速度,力等矢量间的关系,又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念,又运用达朗贝尔原理,求得与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。不仅如此,拉格朗日方程具有更普遍的意义,适用范围更广泛。还有,选取恰当的广义坐标,可以大大地简化拉格朗日方程的求解过程。

力学系统可以由一组坐标来描述。例如,一个质点的运动(在笛卡尔坐标系中)由x、y、z三个坐标来描述。一般而言, N {\displaystyle N} 个质点组成的力学系统由 3 N {\displaystyle 3N} 个坐标来描述。力学系统中常常存在着各种约束,使得这 3 N {\displaystyle 3N} 个坐标并不都是独立的。力学系统的独立坐标的个数称之为自由度。对于 N {\displaystyle N} 个质点组成的力学系统,若存在 m {\displaystyle m} 个约束,则系统的自由度为

在矢量力学中,约束的存在体现于作用于系统的约束力。约束力引入额外的未知量,通常使问题变得更为复杂。但若能选取适当的 s {\displaystyle s} 个完全满足约束条件的独立坐标,则约束不再出现在问题中,只需要求解关于 s {\displaystyle s} 个未知变量的方程,使问题得以大大简化。而如果运用牛顿力学来解约束问题,通常约束越多,需要求解的方程个数就越多,反而增加了一定的难度。这样的 s {\displaystyle s} 个坐标不再局限于各质点的位置坐标,而可以是任何能描述系统的几何参量,因此称为“广义坐标”。

拉格朗日力学的一个基本假设是:具有 n {\displaystyle n} 个自由度的系统,其运动状态完全由 n {\displaystyle n} 个广义坐标及广义速度决定。或者说,力学系统的运动状态由一个广义坐标和广义速度的函数描述:

这个函数称为拉格朗日函数或拉格朗日量。

引入势能函数 V {\displaystyle V\!} 。这时拉格朗日函数表示为:

其中 T {\displaystyle T\!} V {\displaystyle V\!} 分别是这个力学体系的动能和势能。

拉格朗日力学中,运动方程由 n {\displaystyle n} 个二阶微分方程(拉格朗日方程)给出:

其中 Q i {\displaystyle Q_{i}} q i {\displaystyle q_{i}} 所对应的非保守的广义力。

拉格朗日方程的地位等同于牛顿力学中的牛顿第二定律。但具有更普遍的意义。

哈密顿量 H {\displaystyle H} 可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换得到。哈密顿量是经典力学的另一种表述哈密顿力学的基础。拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的切丛上的函数,而哈密顿量是相对应的余切丛上的函数。哈密顿量在量子力学中到处出现(参看哈密顿算符 (量子力学))。

1948年,费曼发明了路径积分表述,将最小作用量原理扩展到量子力学。在该表述中,粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径;特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。在经典力学的范围,路径积分表述简单的退化为哈密顿原理。

相关

  • 胚胎胚胎(法语:Embryo)是专指有性生殖而言,是指精子和卵子合成为合子之后,经过多次细胞分裂和细胞分化后形成的有发育成生物成体的能力的雏体。它指的是发育生物学最早的阶段。有性繁
  • 托伦托伦(波兰语:Toruń ;德语:Thorn,托恩)是波兰的一个城市,是1233年由条顿骑士团所建立。属库亚维-波美拉尼亚省。托伦曾是托伦省的省会。托伦的旧市区也是世界文化遗产。托伦在瓜分
  • 杓状会厌襞.mw-parser-output ruby>rt,.mw-parser-output ruby>rtc{font-feature-settings:"ruby"1}.mw-parser-output ruby.large{font-size:250%}.mw-parser-output ruby.larger{fon
  • 坐标地理坐标系一般是指由经度、纬度和相对高度组成的坐标系,能够标示地球上的任何一个位置。经度和纬度常合称为经纬度,把球面上的经纬度显示在平面地图上需要采用某种地图投影。
  • 神舟十一号神舟十一号航天员航天服则是由上海东华大学航天员服装研发设计团队负责。北京时间2016年11月18日14时03分,神舟十一号载人飞船返回舱在内蒙古中部锡林郭勒盟苏尼特右旗境内成
  • 海阳市海阳市是中国山东省一座县级市,由烟台市代管。海阳市总面积1886.84平方公里,总人口69万,地处黄海之滨、胶东半岛南翼,东经120°50至121°29,北纬36°16至37°10之间,位于青岛、威
  • 基督堂教会基督堂教会(Iglesia ni Cristo),是一个独立的基督教组织, 发起于1914年7月27日的菲律宾,教会的创始人是Felix Manalo。教会公开宣称他们是由耶稣所建立的原始教会。他们不接受三
  • 类型电台类型电台或类型化电台(英语:Radio Format),有时也称为“类型节目”(Programming Format),描述的是某个广播电台节目内容的整体性质归属。类型电台淡化了电台节目之间的区别,为特定的
  • 永嘉学派永嘉学派,又称“事功学派”、“功利学派”,是南宋时期重要的一个儒家学派,与朱熹的“理学”、陆九渊的“心学”呈鼎足相抗之势。因成型及发展于永嘉(今温州)地区,代表人物又多为永
  • 巴西整合运动巴西整合运动(葡萄牙语:Ação Integralista Brasileira)是一个巴西极右翼党派,由普利尼奥·萨尔加多创建,并遵循普利尼奥·萨尔加多所创立之整合主义思想。巴西整合运动倡导巴西