范德蒙恒等式

✍ dations ◷ 2025-07-21 20:11:25 #组合数学,数学恒等式

范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。

甲班有 $m {\displaystyle m}$ $m$ 个同学，乙班有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个同学，从两个班中选出 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个同学有 ${\binom {n+m}{k}}$ $\binom {n+m}k$ 种方法。

从甲班选 $k-i$ $k-i$ 名，从乙班选 $i {\displaystyle i}$ $i$ 名有 ${\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\binom ni \binom m{k-i}$ 种方法，考虑所有情况 $i=0,1,\ldots ,k$ $i=0,1,\ldots ,k$ ，从两个班中合计 $k {\displaystyle k}$ $k$ 选出个同学有 $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}$ 种方法。

所以 ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$

注意到

等号左边化简成

等号右边则根据定义

比较 $x^{k}$ $x^{k}$ 系数，可得

$\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$ $\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$

其中 ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$ ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$

展开 $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ 可得以上结论。

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$ ${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$ $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$

$={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$ $={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$

相关

淋巴器官淋巴结（lymph node）是淋巴系统的一部分（以往亦称做淋巴腺，但其并没有分泌物质的功能，故称为“腺”并不对），作用类似过滤器，内部蜂窝状的结构聚集了淋巴球，能够将病毒与细菌摧毁，当身体
楚三楚，分成西楚、东楚与南楚等，为秦汉之间的古地名。三楚本指楚国强盛时期的地理范围，到后来成为楚文化概念。直至东汉时期，依然为时人所使用。南北朝后泛指湖南、湖北一带。战国
凯文的幻虎世界《凯文的幻虎世界》（英语：Calvin and Hobbes），又名《卡尔文与霍布斯虎》、《凯文和跳跳虎》、《凯文与虎伯》，是美国卡通漫画家Bill Watterson（英语：Bill Watterson）所绘制的每日连
慈安孝贞显皇后（满语：ᡥᡳᠶᠣᠣᡧᡠᠩᡤᠠ ᠵᡝᡴᡩᡠᠨ ᡳᠯᡝᡨᡠ ᡥᡡᠸᠠᠩᡥᡝᠣ，穆麟德：hiyoošungga jekdun iletu hūwangheo，太清：hiyouxungga jekdun iletu hvwangheu；1837
口感口感是指食物在口中发生物理或者化学方面的变化过程而产生的感觉，属于食品流变学领域的术语。这一概念在许多和食品测试评估人员有关的领域中被使用，例如品酒及食品流变学领
1904第三届夏季奥林匹克运动会（英语：the Games of the III Olympiad，法语：les Jeux de la IIIe Olympiade），于1904年7月1日至11月23日在美国密苏里州圣路易斯举行。有12个国家参加了本
埃及第十五王朝第八第十埃及第十五王朝是古埃及历史上的一个王朝，为西克索人所立，定都于阿瓦里斯。本王朝存在时间从前1674年至前1535年，属于第二中间期。现今人们常将其和第十六王朝与埃及
新井彬之新井彬之（日语：新井彬之，1934年9月15日－2017年3月7日），兵库县人，日本政治家、日本公明党众议院议员。1957年，毕业于关西大学（日语：関西大学）法学部。后担任神户市议员，1969年，在第32届日
爱德华·海斯爱德华·海斯(德语：duard Heis, 1806年2月18日－1877年6月30日)是一位德国数学家暨天文学家。1806年2月18日出生于科隆，1827年海斯从毕业波恩大学后，在科隆一所学校教授数学，1832
伊朗民族主义伊朗政府与政治系列条目伊朗民族主义（英语：Iranian nationalism，波斯语：ملیگرایی ایرانی‎）指伊朗国内身份认同为“伊朗人”之民众的民族主义。在此背景下，伊朗民