范德蒙恒等式

✍ dations ◷ 2025-11-27 22:58:00 #组合数学,数学恒等式

范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。

甲班有 $m {\displaystyle m}$ $m$ 个同学，乙班有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个同学，从两个班中选出 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个同学有 ${\binom {n+m}{k}}$ $\binom {n+m}k$ 种方法。

从甲班选 $k-i$ $k-i$ 名，从乙班选 $i {\displaystyle i}$ $i$ 名有 ${\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\binom ni \binom m{k-i}$ 种方法，考虑所有情况 $i=0,1,\ldots ,k$ $i=0,1,\ldots ,k$ ，从两个班中合计 $k {\displaystyle k}$ $k$ 选出个同学有 $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}$ 种方法。

所以 ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$

注意到

等号左边化简成

等号右边则根据定义

比较 $x^{k}$ $x^{k}$ 系数，可得

$\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$ $\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$

其中 ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$ ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$

展开 $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ 可得以上结论。

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$ ${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$ $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$

$={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$ $={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$

相关

硫酸镁硫酸镁（magnesium sulfate、magnesium sulphate），或无水硫酸镁，是一种含镁的化合物，分子式为MgSO4。无水的硫酸镁是一种常用的化学试剂及干燥试剂。其水溶液呈中性。但是硫酸镁常
儿儿部，是為漢字索引的部首之一，康熙字典214個部首第十個（二劃的則為第四個），是簡體字部首。就正體中文中，儿部歸於二劃部首。儿部只以下方為部字，且無其他部首可用者將部首歸為儿部
詹姆斯·吉尔雷詹姆斯·吉尔雷（英语：James Gillray，1757年8月13日－1815年6月1日），英国讽刺漫画家和版画家，他的蚀刻版画政治和社会讽刺性强，主要发表在1792年到1810年间。吉尔雷的漫画一般分为两类
Nobel Foundation诺贝尔基金会成立于1900年，是根据诺贝尔遗嘱所建立的私人机构，专门管理诺贝尔遗产及诺贝尔奖的颁发。此基金会也从事一些投资，分别在1946年与1953年，获得瑞典与美国的免税优待。
高速铁路高铁铁路线列表，列出全世界20多个国家实际营运的高速铁路，但并非每个国家都有其高铁专线。以下列表列出各国时速超过200公里的高速铁路概况，包括已经投入运营和正在建设中的铁
英属马来亚英属马来亚是大英帝国殖民地之一，包含了海峡殖民地（1826年成立）、马来联邦（1895年成立）及五个马来属邦（1904年至1909年间取得宗主权），战后，先后改组成马来亚联邦及马来亚联合邦，直至19
2017年12月逝世人物列表2017年12月逝世人物列表，是用于汇总2017年12月期间逝世人物的列表。
霍斯劳二世库思老二世（570年？－628年2月28日），人称“得胜王”（Parvez），《旧唐书》作库萨和，埃兰沙赫尔第22代君主，590年至628年在位。库思老二世被其父贺尔米斯达四世的反叛者拥立继位，即位后将其
市中心 (新加坡)中区新加坡中央社区发展理事会惹兰勿刹集选区市中心（英语：Downtown Core、马来语：Pusat Bandar Kor、泰米尔语：டவுன்டவுன் கோர்）是新加坡历史与城市中心，位于55个规
大绿金刚鹦鹉大绿金刚鹦鹉（学名：Ara ambiguus；英语：Great Green Macaw，Buffon's Macaw）生活在哥伦比亚、哥斯达黎加、巴拿马以及尼加拉瓜等地。成年体长85厘米。身体主要为黄绿色，与军舰金刚鹦