范德蒙恒等式

✍ dations ◷ 2024-12-22 23:39:08 #组合数学,数学恒等式

范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。

甲班有 $m {\displaystyle m}$ $m$ 个同学，乙班有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个同学，从两个班中选出 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个同学有 ${\binom {n+m}{k}}$ $\binom {n+m}k$ 种方法。

从甲班选 $k-i$ $k-i$ 名，从乙班选 $i {\displaystyle i}$ $i$ 名有 ${\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\binom ni \binom m{k-i}$ 种方法，考虑所有情况 $i=0,1,\ldots ,k$ $i=0,1,\ldots ,k$ ，从两个班中合计 $k {\displaystyle k}$ $k$ 选出个同学有 $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}$ 种方法。

所以 ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$

注意到

等号左边化简成

等号右边则根据定义

比较 $x^{k}$ $x^{k}$ 系数，可得

$\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$ $\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$

其中 ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$ ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$

展开 $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ 可得以上结论。

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$ ${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$ $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$

$={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$ $={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$

相关

国债美国国债指美国联邦政府欠美国国库券持有者的金额。国债是政府欠债权人的债务，不论该债权人是国民或外国人。而外债则是所有国内机构，包括公营和私营，欠外国债权人的债务。在美
宗教理论神学（古希腊语：Θεολογια，拉丁语：theologia，英语：Theology）一词，广泛指称所有对神（上帝）这个主题展开的研究或学说。神学一词的希腊文Θεολογια是由Θεος（即“神”）和
肩难产肩难产（英语：Shoulder dystocia），系指产妇分娩时，婴儿头部已伸出来，但肩前却卡在产妇的耻骨弓之情形，婴儿的头部缩回阴道，就像乌龟一样，称之为“乌龟征”（turtle sign）。肩难产的并发症
印度帝国英属印度（英语：British India 或 British Raj）是指英国在1858年到1947年间于印度次大陆（南亚）建立的殖民统治区域，包括今印度共和国、孟加拉国、巴基斯坦以及缅甸。自1858年开始，由
斗鸡斗鸡是世界各地几乎都有的娱乐传统，利用鸡形目的鸟（也有其他目的）在发情期好斗的特点，来进行比赛。斗鸡中国古代盛行的一种游戏。最早是由百越中的傣系民族发展出来。在亚洲印度
器件半导体器件（semiconductor device）是利用半导体材料的特殊电特性来完成特定功能的电子器件。半导体的导电性介于良导电体与绝缘体之间，这些半导体材料通常是硅、锗或砷化镓，并经
糸部糸部，为汉字索引中的部首之一，康熙字典214个部首中的第一百二十个（六划的则为第三个）。俗称绞丝旁、绞丝底、绕丝边等。就繁体和简体中文中，糸部归于六划部首。糸部通常从左、下
艾佛德·切斯特·比替艾佛德·切斯特·比替爵士（Sir Alfred Chester Beatty，1875年－1968年1月19日）。艾佛德1875年出生于纽约，他是三个儿子中最年幼的一个。年少时在纽约就读，与哥伦比亚大学采矿工程
加利·高文加利·韦恩·高文（英语：Gary Wayne Coleman，1968年2月8日－2010年5月28日）是一名已故美国演员、谐星、作家及配音员。曾被形容为1980年代电视最有前途的明星。VH1把他在“100名最
峇都丁宜峇都丁宜（马来语：Batu Ferringhi），是马来西亚槟城州东北县乔治市的市郊，位于乔治市市中心11公里外的槟岛北岸，也是乔治市著名的海滩景点。为了应付旅客人潮，峇都丁宜附近4公里的海