范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。
甲班有 m {\displaystyle m} 个同学，乙班有 n {\displaystyle n} 个同学，从两个班中选出 k {\displaystyle k} 个同学有 ( n + m k ) {\displaystyle {\binom {n+m}{k}}} 种方法。
从甲班选 k − i {\displaystyle k-i} 名，从乙班选 i {\displaystyle i} 名有 ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle {\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}} 种方法，考虑所有情况 i = 0 , 1 , … , k {\displaystyle i=0,1,\ldots ,k} ，从两个班中合计 k {\displaystyle k} 选出个同学有 ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}} 种方法。
所以 ( n + m k ) = ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle {\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}}
注意到
等号左边化简成
等号右边则根据定义
比较 x k {\displaystyle x^{k}} 系数，可得
∑ k i j ( n 1 k 11 , k 12 , … , k 1 t ) … ( n s k s 1 , k s 2 , … , k s t ) = ( n 1 + n 2 + ⋯ + n s r 1 , r 2 , … , r t ) {\displaystyle \sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}}
其中 ( n n 1 , n 2 , … , n m ) = n ! n 1 ! n 2 ! … n m ! , k 1 l + k 2 l + ⋯ + k s l = r l , l = 1 , … , t {\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t}
展开 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n 1 + n 2 + ⋯ + n s = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n 1 … ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n s {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}} 可得以上结论。
范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。
2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) n ! = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)}
∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = m ! k ! ( m − k ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − n ) ( i ) ( − k ) ( i ) ( m − k + 1 ) ( i ) i ! = m ! k ! ( m − k ) ! 2 F 1 ( − n , − k ; m − k + 1 ; 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)}
= m ! k ! ( m − k ) ! Γ ( m − k + 1 ) Γ ( n + m + 1 ) Γ ( n + m − k + 1 ) Γ ( m + 1 ) = ( n + m ) ! k ! ( n + m − k ) ! = ( n + m k ) {\displaystyle ={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}}
个同学，乙班有 
个同学，从两个班中选出 
个同学有
种方法。
名，从乙班选 
名有
种方法，考虑所有情况
，从两个班中合计 选出个同学有 
种方法。
系数，可得
可得以上结论。
