范德蒙恒等式

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:19:36 #组合数学,数学恒等式

范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。

甲班有 $m {\displaystyle m}$ $m$ 个同学，乙班有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个同学，从两个班中选出 $k {\displaystyle k}$ $k$ 个同学有 ${\binom {n+m}{k}}$ $\binom {n+m}k$ 种方法。

从甲班选 $k-i$ $k-i$ 名，从乙班选 $i {\displaystyle i}$ $i$ 名有 ${\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\binom ni \binom m{k-i}$ 种方法，考虑所有情况 $i=0,1,\ldots ,k$ $i=0,1,\ldots ,k$ ，从两个班中合计 $k {\displaystyle k}$ $k$ 选出个同学有 $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ $\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}$ 种方法。

所以 ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$ ${\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}$

注意到

等号左边化简成

等号右边则根据定义

比较 $x^{k}$ $x^{k}$ 系数，可得

$\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$ $\sum _{k_{ij}}{n_{1} \choose k_{11},k_{12},\dots ,k_{1t}}\dots {n_{s} \choose k_{s1},k_{s2},\dots ,k_{st}}={n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s} \choose r_{1},r_{2},\dots ,r_{t}}$

其中 ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$ ${n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{m}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{m}!}},k_{1l}+k_{2l}+\dots +k_{sl}=r_{l},l=1,\dots ,t$

展开 $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{s}}=(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{1}}\dots (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{t})^{n_{s}}$ 可得以上结论。

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$ ${}_{2}F_{1}(a,b;c;1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}n!}}={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)$

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$ $\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)$

$={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$ $={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{\frac {\Gamma (m-k+1)\Gamma (n+m+1)}{\Gamma (n+m-k+1)\Gamma (m+1)}}={\frac {(n+m)!}{k!(n+m-k)!}}={\binom {n+m}{k}}$

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