拉梅函数

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:

${\displaystyle \frac{d^{2}w}{d{z}^2}+(A+v(v+1)k^{2}s{n}^2(z,k))w=0}$+此拉梅方程的正则奇点在复数平面的${\displaystyle 2pK+(2q+1)\ast <!--\; \ast \; -->i{K}^{\prime }}$其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为${\displaystyle k^{\prime }=\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2}}$的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 ,

作雅可比椭圆函数变数替换${\displaystyle s=s{n}^2(z,k)}$得拉梅方程的代数形式：

${\displaystyle \frac{d^2\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{d{s}^2}+\frac{1}{2}\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{2}+\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}+\frac{1}{s-<!--\; -\; -->h})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{ds}-<!--\; -\; -->\frac{n(n+1)s+H}{4s(s-<!--\; -\; -->1)(s-<!--\; -\; -->h)}\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=0}$

${\displaystyle h=k^{-<!--\; -\; -->2}=\frac{a^2-<!--\; -\; -->c^2}{a^2-<!--\; -\; -->b^2}}$,

${\displaystyle H=hA}$

${\displaystyle h>1}$此傅克型方程有四个正则奇点${\displaystyle 0,1,h,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$

${\displaystyle \frac{d^2\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{d{z}^2}+\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=0}$

其中${\displaystyle \mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}$是魏尔斯特拉斯函数

在雅可比形式的拉梅方程中做代换${\displaystyle snz=cos\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}$

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->amz}$

可得

${\displaystyle \frac{d^2\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{d{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^2}}$${\displaystyle +k^{2}cos\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\frac{d\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}{d\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}+\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}=0}$

在上列方程组 ${\displaystyle h,k,n}$等是实数或复数常数，而各变量为复数。

对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：

其中${\displaystyle 2m,2m+1,2m+2}$代表在（0,2K)区间内的零点数。

Heun方程${\displaystyle gh:=\frac{d^2(y(z)}{d{z}^2}+(\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{z}+\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}{z-<!--\; -\; -->1}+\frac{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{z-<!--\; -\; -->a})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{d(y(z)}{dz}+(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->z-<!--\; -\; -->q)\ast <!--\; \ast \; -->y(z)/(z\ast <!--\; \ast \; -->(z-<!--\; -\; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->(z-<!--\; -\; -->a))=0}$

令=${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1/2,\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=1/2,\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=1/2,q=-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->a\ast <!--\; \ast \; -->h,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1/4,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; -->v(v+1)}$

则化为拉梅方程

${\displaystyle \frac{d^2(y(z)}{d{z}^2}+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->(1/z+1/(z-<!--\; -\; -->1)+1/(z-<!--\; -\; -->a)))\ast <!--\; \ast \; -->\frac{d(y(z)}{dz}+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->h-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1)\ast <!--\; \ast \; -->z)\ast <!--\; \ast \; -->y(z)/(z\ast <!--\; \ast \; -->(z-<!--\; -\; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->(z-<!--\; -\; -->a))=0}$

由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示${\displaystyle y(z){=}_{C}1\ast <!--\; \ast \; -->HeunG(a,-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->a\ast <!--\; \ast \; -->h,-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}+1/2,1/2,1/2,z)}$

${\displaystyle {+}_{C}2\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}z)\ast <!--\; \ast \; -->HeunG(a,1/4+(1/4\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->h+1))\ast <!--\; \ast \; -->a,1+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},1/2-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->},3/2,1/2,z)}$其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数可以展开成幂级数形式

${\displaystyle y(z)=\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_v\ast <!--\; \ast \; -->z^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}+v}}$

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$只能取${\displaystyle 0,1/2}$

${\displaystyle y(z)=1.2+2.3\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}z)-<!--\; -\; -->.600\ast <!--\; \ast \; -->h\ast <!--\; \ast \; -->z-<!--\; -\; -->(.383\ast <!--\; \ast \; -->(a\ast <!--\; \ast \; -->h-<!--\; -\; -->1.\ast <!--\; \ast \; -->a-<!--\; -\; -->1.))\ast <!--\; \ast \; -->z^{(}3/2)/a+(0.500e-<!--\; -\; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->4.\ast <!--\; \ast \; -->a\ast <!--\; \ast \; -->h-<!--\; -\; -->4.\ast <!--\; \ast \; -->h+a\ast <!--\; \ast \; -->h^2+2.\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2+2.\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}))\ast <!--\; \ast \; -->z^2/a+(0.192e-<!--\; -\; -->1\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->10.\ast <!--\; \ast \; -->a^2\ast <!--\; \ast \; -->h+9.\ast <!--\; \ast \; -->a^2+6.\ast <!--\; \ast \; -->a-<!--\; -\; -->10.\ast <!--\; \ast \; -->a\ast <!--\; \ast \; -->h+9.+a^2\ast <!--\; \ast \; -->h^2+6.\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->a+6.\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->a))\ast <!--\; \ast \; -->z^{(}5/2)/a^2+O(z^3)}$