巴拿赫极限

在数学分析中，巴拿赫极限（英语：Banach limit）指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$上，对每个${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$中的序列${\displaystyle x=(x_n)}$、${\displaystyle y=(y_n)}$和复数${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$满足：

的连续线性泛函${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}}$。

因此，${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$是对连续线性泛函${\displaystyle limx:c\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathbb{C}}$的延拓，其中${\displaystyle c\subset <!--\; \subset \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$是${\displaystyle \mathbb{C}}$中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。

换句话说，巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓，并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限，使得各自作用下得到两个不同的值，我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。

作为上述性质的一个推论，每个实值巴拿赫极限也满足：

巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明（分析学方法），也可以应用超滤子（这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁）。这些证明都一定会用到选择公理（即所谓的非构造证明）。

某些不收敛的级数在巴拿赫极限的作用下是唯一确定的。 例如${\displaystyle x=(1,0,1,0,\dots <!--\; \dots \; -->)}$，注意到${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\dots <!--\; \dots \; -->)}$是常序列，并且

因此对每个巴拿赫极限而言，它以${\displaystyle 1/2}$为极限。

我们将每个巴拿赫极限${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$下有相同的${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)}$的有界序列${\displaystyle x}$称为几乎收敛的。

在${\displaystyle c\subset <!--\; \subset \; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$中给定收敛序列${\displaystyle x=(x_n)}$，如果考虑对偶${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1,{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}⟩<!--\; ⟩\; -->}$，${\displaystyle x}$通常的极限并不由${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1}$的某个元素给出。实际上${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$是${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1}$的连续对偶空间（对偶巴拿赫空间）；反过来，${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1}$虽然能诱导出${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$中的连续线性泛函，但并不是全部。每个${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$上的巴拿赫极限都是${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$的对偶巴拿赫空间中的一个元素，但不在${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^1}$中。${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$的对偶叫做ba空间，由一切自然数集子集的σ-代数上有限可加（符号）测度组成，或者等价地说是由每个自然数集的Stone–Čech紧化上的波莱尔（符号）测度组成。