阿诺索夫微分同胚

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:24:10 #微分同胚,动力系统,双曲几何

在数学中,尤其是动力系统与几何拓扑中,流形M上的阿诺索夫映射(Anosov map)是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入,他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

有三个相互联系但又有区别的定义:

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的,并且组成了全体映射(流)的开子集( C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 拓扑)。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚;例如,球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面:上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚,这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题,截至2012年仍然没有解决。

另外,也不清楚是否每个 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 换成 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 的条件下是成立的。

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义,即上半平面与福克斯群的商。设 H {\displaystyle \mathbb {H} } 为上半平面, Γ {\displaystyle \Gamma } 为福克斯群, M = H / Γ {\displaystyle M=\mathbb {H} /\Gamma } 为负曲率黎曼曲面, T 1 M {\displaystyle T^{1}M} 为流形M上的单位向量的切丛, T 1 H {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} } H {\displaystyle \mathbb {H} } 的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

注意 T 1 H {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} } 同构于李群 PSL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。 PSL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 的李代数是 s l ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} ,由以下矩阵表示

J = ( 1 / 2 0 0 1 / 2 ) X = ( 0 1 0 0 ) Y = ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}

= X , = Y , = 2 J {\displaystyle =X,\quad =-Y,\quad =2J}

指数映射

g t = exp t J = ( e t / 2 0 0 e t / 2 ) h t = exp t X = ( 1 t 0 1 ) h t = exp t Y = ( 1 0 t 1 ) {\displaystyle g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}}

定义了流形 T 1 H = PSL ( 2 , R ) {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 上的右不变流,而 T 1 M {\displaystyle T^{1}M} 与此类似。定义 P = T 1 H , Q = T 1 M {\displaystyle P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M} ,这些流定义了P和Q上的向量场。

g t {\displaystyle g_{t}} 是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的,可以得到这些场在 g t {\displaystyle g_{t}} 下是左不变的。换句话说,空间 T P {\displaystyle TP} T Q {\displaystyle TQ} 分成了三个一维空间,或子丛,每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大,另一个不变,第三个呈指数缩小。

精确地说,切丛 T Q {\displaystyle TQ} 可以写成直和

T Q = E + E 0 E {\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}

这些空间在测地流的作用下不变;即,在群元素 g = g t {\displaystyle g=g_{t}} 的作用下不变。

要比较不同点q处 T q Q {\displaystyle T_{q}Q} 的向量的长度,需要有度量。 T e P = s l ( 2 , R ) {\displaystyle T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} 上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量,进而得到Q上的黎曼度量。向量 v E q + {\displaystyle v\in E_{q}^{+}} 的长度在 g t {\displaystyle g_{t}} 的作用下指数增大。向量 v E q {\displaystyle v\in E_{q}^{-}} 的长度在 g t {\displaystyle g_{t}} 的作用下指数衰减。 E q 0 {\displaystyle E_{q}^{0}} 中的向量不变。测地流是不变的

g s g t = g t g s = g s + t {\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}

但另外两个分别是衰减和增大的:

g s h t = h t exp ( s ) g s {\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}}

g t h t = h t exp s g s {\displaystyle g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}}

其中 E q + {\displaystyle E_{q}^{+}} 中的切向量由曲线 h t {\displaystyle h_{t}} t = 0 {\displaystyle t=0} 处的导数给出。

当作用在上半平面的点 z = i {\displaystyle z=i} 时, g t {\displaystyle g_{t}} 对应了上半平面的一条过点 z = i {\displaystyle z=i} 的测地线。这个作用就是 SL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )} 在上半平面的标准莫比乌斯变换,所以

g t i = ( exp ( t / 2 ) 0 0 exp ( t / 2 ) ) i = i exp t {\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}}

一般的测地线

( a b c d ) i exp t = a i exp t + b c i exp t + d {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}}

式中 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 是实数,且 a d b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} 。曲线 h t {\displaystyle h_{t}^{*}} h t {\displaystyle h_{t}} 称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

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