阿诺索夫微分同胚

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:07:33 #微分同胚,动力系统,双曲几何

在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

有三个相互联系但又有区别的定义：

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（ ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ 拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个 ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ 且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把 ${\mathcal {C}}^{1}$ ${\mathcal {C}}^{1}$ 换成 ${\mathcal {C}}^{2}$ ${\mathcal {C}}^{2}$ 的条件下是成立的。

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设 $\mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$ 为上半平面， $\Gamma$ $\Gamma$ 为福克斯群， $M=\mathbb {H} /\Gamma$ $M=\mathbb {H} /\Gamma$ 为负曲率黎曼曲面， $T^{1}M$ $T^{1}M$ 为流形M上的单位向量的切丛， $T^{1}\mathbb {H}$ $T^{1}\mathbb {H}$ 是 $\mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$ 的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

注意 $T^{1}\mathbb {H}$ $T^{1}\mathbb {H}$ 同构于李群 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。 ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ ${\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 的李代数是 ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ，由以下矩阵表示

$J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$ $J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

$=X,\quad =-Y,\quad =2J$ $=X,\quad =-Y,\quad =2J$

指数映射

$g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}$ $g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}$

定义了流形 $T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ $T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )$ 上的右不变流，而 $T^{1}M$ $T^{1}M$ 与此类似。定义 $P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M$ $P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M$ ，这些流定义了P和Q上的向量场。

$g_{t}$ $g_{t}$ 是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在 $g_{t}$ $g_{t}$ 下是左不变的。换句话说，空间 $T P {\displaystyle TP}$ $TP$ 和 $T Q {\displaystyle TQ}$ $TQ$ 分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛 $T Q {\displaystyle TQ}$ $TQ$ 可以写成直和

$TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}$ $TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}$

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素 $g=g_{t}$ $g=g_{t}$ 的作用下不变。

要比较不同点q处 $T_{q}Q$ $T_{q}Q$ 的向量的长度，需要有度量。 $T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ $T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ 上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量 $v\in E_{q}^{+}$ $v\in E_{q}^{+}$ 的长度在 $g_{t}$ $g_{t}$ 的作用下指数增大。向量 $v\in E_{q}^{-}$ $v\in E_{q}^{-}$ 的长度在 $g_{t}$ $g_{t}$ 的作用下指数衰减。 $E_{q}^{0}$ $E_{q}^{0}$ 中的向量不变。测地流是不变的

$g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}$ $g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}$

但另外两个分别是衰减和增大的：

$g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}$ $g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}$

$g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}$ $g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}$

其中 $E_{q}^{+}$ $E_{q}^{+}$ 中的切向量由曲线 $h_{t}$ $h_{t}$ 在 $t=0$ $t=0$ 处的导数给出。

当作用在上半平面的点 $z=i$ $z=i$ 时， $g_{t}$ $g_{t}$ 对应了上半平面的一条过点 $z=i$ $z=i$ 的测地线。这个作用就是 ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ 在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

$g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}$ $g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}$

一般的测地线

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}$

式中 $a, b, c, d {\displaystyle a,b,c,d}$ $a,b,c,d$ 是实数，且 $ad-bc=1$ $ad-bc=1$ 。曲线 $h_{t}^{*}$ $h_{t}^{*}$ 与 $h_{t}$ $h_{t}$ 称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。

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