阿诺索夫微分同胚

在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。

阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

有三个相互联系但又有区别的定义：

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（${\displaystyle {\mathcal{C}}^1}$拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个${\displaystyle {\mathcal{C}}^1}$且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把${\displaystyle {\mathcal{C}}^1}$换成${\displaystyle {\mathcal{C}}^2}$的条件下是成立的。

负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设${\displaystyle \mathbb{H}}$为上半平面，${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$为福克斯群，${\displaystyle M=\mathbb{H}/\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$为负曲率黎曼曲面，${\displaystyle T^{1}M}$为流形M上的单位向量的切丛，${\displaystyle T^1\mathbb{H}}$是${\displaystyle \mathbb{H}}$的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。

注意${\displaystyle T^1\mathbb{H}}$同构于李群${\displaystyle \text{PSL}(2,\mathbb{R})}$。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。${\displaystyle \text{PSL}(2,\mathbb{R})}$的李代数是${\displaystyle \mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{R})}$，由以下矩阵表示

${\displaystyle =X,=-<!--\; -\; -->Y,=2J}$

指数映射

定义了流形${\displaystyle T^1\mathbb{H}=\text{PSL}(2,\mathbb{R})}$上的右不变流，而${\displaystyle T^{1}M}$与此类似。定义${\displaystyle P=T^1\mathbb{H},Q=T^{1}M}$，这些流定义了P和Q上的向量场。

${\displaystyle g_t}$是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在${\displaystyle g_t}$下是左不变的。换句话说，空间${\displaystyle TP}$和${\displaystyle TQ}$分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛${\displaystyle TQ}$可以写成直和

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus <!--\; \oplus \; -->E^0\oplus <!--\; \oplus \; -->E^{-<!--\; -\; -->}}$

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素${\displaystyle g=g_t}$的作用下不变。

要比较不同点q处${\displaystyle T_{q}Q}$的向量的长度，需要有度量。${\displaystyle T_{e}P=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2,\mathbb{R})}$上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量${\displaystyle v\in <!--\; \in \; -->E_q^{+}}$的长度在${\displaystyle g_t}$的作用下指数增大。向量${\displaystyle v\in <!--\; \in \; -->E_q^{-<!--\; -\; -->}}$的长度在${\displaystyle g_t}$的作用下指数衰减。${\displaystyle E_q^0}$中的向量不变。测地流是不变的

${\displaystyle g_s{g}_t=g_t{g}_s=g_{s+t}}$

但另外两个分别是衰减和增大的：

${\displaystyle g_s{h}_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}=h_{t\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->s)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}{g}_s}$

${\displaystyle g_t{h}_t=h_{t\exp <!--\; \; -->s}{g}_s}$

其中${\displaystyle E_q^{+}}$中的切向量由曲线${\displaystyle h_t}$在${\displaystyle t=0}$处的导数给出。

当作用在上半平面的点${\displaystyle z=i}$时，${\displaystyle g_t}$对应了上半平面的一条过点${\displaystyle z=i}$的测地线。这个作用就是${\displaystyle \text{SL}(2,\mathbb{R})}$在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以

一般的测地线

式中${\displaystyle a,b,c,d}$是实数，且${\displaystyle ad-<!--\; -\; -->bc=1}$。曲线${\displaystyle h_t^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$与${\displaystyle h_t}$称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。