自然密度

自然密度（英语：natural density），又称渐进密度（英语：asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

考虑自然数的一个子集${\displaystyle A}$和整数区间${\displaystyle }$：

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论（英语：Probabilistic number theory）的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

对于一个自然数集的子集${\displaystyle A}$，当${\displaystyle n}$趋向于无穷时，若${\displaystyle A}$中不大于${\displaystyle n}$的元素个数与${\displaystyle n}$的比值收敛到${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，则称${\displaystyle A}$的自然密度为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。

更进一步，若定义${\displaystyle a(n)}$为${\displaystyle A}$里不大于${\displaystyle n}$的元素个数，那么命题“${\displaystyle A}$的自然密度为${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$”等效于：

从定义中可以看出，若${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$是某个集合${\displaystyle A}$的自然密度，则一定有${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\le <!--\; \le \; -->1}$。

设${\displaystyle A}$ 是自然数集${\displaystyle \mathbb{N}=\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->\}}$的一个子集。对任何${\displaystyle n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$，定义${\displaystyle A(n)=\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}\cap <!--\; \cap \; -->A}$，${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$。

则${\displaystyle A}$的上自然密度（英语：upper asymptotic density）为：

其中${\displaystyle lim sup}$是上极限。 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{d}(A)}$也可简称为${\displaystyle A}$的上密度。 

同样地，定义A的下自然密度（英语：lower asymptotic density）为：

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说${\displaystyle A}$的自然密度${\displaystyle d(A)}$是：

2. 自然密度的定义还可以表示为：

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英语：upper Banach density）。对于${\displaystyle A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{N}}$，定义${\displaystyle d^{\ast <!--\; \ast \; -->}(A)}$为：

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合${\displaystyle A}$的对数密度（英语：logarithmic density）可以定义为：

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。