自然密度

✍ dations ◷ 2025-04-04 05:49:42 #组合数学,数论

自然密度(英语:natural density),又称渐进密度(英语:asymptotic density),是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

以平方数集和自然数集的大小关系为例:

考虑自然数的一个子集 A {\displaystyle A} 和整数区间 {\displaystyle }

自然密度(以及一些其他类型的密度)也是概率数论(英语:Probabilistic number theory)的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同,并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

对于一个自然数集的子集 A {\displaystyle A} ,当 n {\displaystyle n} 趋向于无穷时,若 A {\displaystyle A} 中不大于 n {\displaystyle n} 的元素个数与 n {\displaystyle n} 的比值收敛到 α {\displaystyle \alpha } ,则称 A {\displaystyle A} 的自然密度为 α {\displaystyle \alpha }

更进一步,若定义 a ( n ) {\displaystyle a(n)} A {\displaystyle A} 里不大于 n {\displaystyle n} 的元素个数,那么命题“ A {\displaystyle A} 的自然密度为 α {\displaystyle \alpha } ”等效于:

从定义中可以看出,若 α {\displaystyle \alpha } 是某个集合 A {\displaystyle A} 的自然密度,则一定有 0 α 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}

A {\displaystyle A} 是自然数集 N = { 1 , 2 , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}} 的一个子集。对任何 n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ,定义 A ( n ) = { 1 , 2 , , n } A {\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A} a ( n ) = | A ( n ) | {\displaystyle a(n)=|A(n)|}

A {\displaystyle A} 的上自然密度(英语:upper asymptotic density)为:

其中 lim sup {\displaystyle \limsup } 是上极限。 d ¯ ( A ) {\displaystyle {\overline {d}}(A)} 也可简称为 A {\displaystyle A} 的上密度。 

同样地,定义A的下自然密度(英语:lower asymptotic density)为:

1. 由上自然密度和下自然密度的定义,我们也可以说 A {\displaystyle A} 的自然密度 d ( A ) {\displaystyle d(A)} 是:

2. 自然密度的定义还可以表示为:

3. 可以证明,下述命题也是自然密度的定义:

一个稍弱的密度定义是 上Banach密度(英语:upper Banach density)。对于 A N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } ,定义 d ( A ) {\displaystyle d^{*}(A)} 为:

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如,集合 A {\displaystyle A} 的对数密度(英语:logarithmic density)可以定义为:

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

相关

  • 胃肠气胀消化系统(消化道)气体或胃肠气、胃肠气胀,俗称屁(flatulence),亦称矢气,指动物消化道肛门排出的气体。有研究指出,牛羊等反刍动物放屁所产生的甲烷可能导致全球暖化。屁的主要气体来
  • 标准大气压标准大气压是压强的一种非国际单位制单位,单位符号atm。其具体数值有不同的定义。标准大气压一般定义为101.325kPa。国际民航组织、国际标准化组织等组织使用这一数值。在195
  • 斯巴达克·别利亚耶夫斯巴达克·季莫费耶维奇·别利亚耶夫(俄语:Спартак Тимофеевич Беляев,1923年10月27日-2017年1月5日),俄罗斯理论物理学家,罗蒙诺索夫金质奖章得主。
  • 标本生物标本(也称为生物样本),是由(生态基因储存库(英语:biorepository))(biorepository)保存用于研究的生物样本。借由制作标本,以便从样品取得的采样物可以长期被保存。而在理想情况下,他
  • 中甲联赛中国足球甲级联赛,是由中国足球协会组织的,由国内职业足球俱乐部参加的全国次高水平的足球职业联赛仅次于中国足球超级联赛,开始于2004年,脱胎自原中国足球甲级B组联赛。第一届
  • 2019冠状病毒病黑龙江省疫情2019冠状病毒病黑龙江省疫情,介绍2019冠状病毒病疫情中,在中华人民共和国黑龙江省发生的情况。21日,黑龙江省牡丹江市出现首例疑似病例,牡丹江市第二医院呼吸科收治一位去武汉探
  • 徐志平徐志平(1957年8月5日-),台湾的中国文学、台湾文学研究者和现代汉语文学创作者,客家人,博士,笔名思存,现在是国立嘉义大学中国文学系特聘教授。(今桃园市杨梅区)瑞埔国民小学、仁美国民
  • 桃乐丝·费洛比桃乐丝·费洛比(Dorothy Celeste Boulding Ferebee,1898年10月10日-1980年9月14日)是非裔的美国内科医师及行动主义者。桃乐丝出生在维吉尼亚州诺福克的Benjamin and Florence B
  • 深堀隼平深堀隼平(1998年6月29日-),日本足球运动员,司职前锋,现效力水户蜀葵。深堀隼平出自名古屋鲸鱼青训,2017年升入一线队,随队在2018年赛季升入日职联赛。深堀隼平从名古屋鲸鱼租借至葡
  • 葱芥葱芥(学名:)为十字花科葱芥属下的一个种。两年生或多年生。叶、花、种荚及主根有大蒜味。绿色荚果可煎炸食用,种子压碎后可做调味料。叶可加入酸辣菜中,泡茶可清血。花期的植株可